- Determine quantitativamente os momentos polares de inércia relativos à origem O e ao centroide C? Qual o significado físico?
Passo 1
Beleza, então o que o enunciado pede é: “Calcular o momento polar de inércia (ou segundo momento polar de área) em dois pontos diferentes – a origem O e o centroide C – e dizer o que isso significa fisicamente.”
Conteúdo da matéria: momento polar de inércia de área e teorema dos eixos paralelos.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: momento polar de inércia de área e teorema dos eixos paralelos.
O que vamos precisar:
- A definição integral do momento polar de inércia
- A noção de centroide e coordenadas do centroide
- O teorema dos eixos paralelos aplicado ao momento polar
Passo 2
Definindo o momento polar de inércia em relação a um ponto P no plano:
– Para a origem O temos
, então
– Para o centroide C, cujas coordenadas são
,
Passo 3
Em geral é complicado fazer a integral direto duas vezes, então lembramos do Teorema dos Eixos Paralelos (ou Steiner) para momentos polares:
onde
é a área total da seção.
Ou seja, uma vez que você calcule (mais simples, porque as integrais centrifugam em torno do próprio centroide) e conheça as coordenadas do centroide e a área, você obtém
sem refazer a integral toda.
Ou seja, uma vez que você calcule
Passo 4
Significado físico:
– O momento polar de inércia mede a “distribuição de área” em torno de um ponto, pesando distância ao quadrado.
– Quanto maior , mais “distância” tem a área do ponto escolhido, ou seja, maior resistência à torção (girações) ou à aplicação de momentos que tentem “rodar” a seção em torno desse ponto.
– Em mecânica dos corpos rígidos, o momento polar de inércia de massa aparece do mesmo jeito, só que com densidade volumétrica em vez de densidade de área.
– O momento polar de inércia mede a “distribuição de área” em torno de um ponto, pesando distância ao quadrado.
– Quanto maior
– Em mecânica dos corpos rígidos, o momento polar de inércia de massa aparece do mesmo jeito, só que com densidade volumétrica em vez de densidade de área.
Resposta
Fisicamente, esses valores quantificam a “resistência à rotação” da área em torno da origem ou do seu próprio centroide.