P 0 3 - Determine quantitativamente os momentos polares de inércia relativos à origem O e ao centroide C? Qual o significado físico?

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado pede é: “Calcular o momento polar de inércia (ou segundo momento polar de área) em dois pontos diferentes – a origem O e o centroide C – e dizer o que isso significa fisicamente.”
Conteúdo da matéria: momento polar de inércia de área e teorema dos eixos paralelos.
O que vamos precisar:
  1. A definição integral do momento polar de inércia
  2. A noção de centroide e coordenadas do centroide
  3. O teorema dos eixos paralelos aplicado ao momento polar

Passo 2

Definindo o momento polar de inércia em relação a um ponto P no plano:
JP ;=;integral duplaA[(x-xP)^2+(y-yP)^2],dA
– Para a origem O temos JO = integral duplaA(x^2 + y^2),dA , então
JC = integral duplaA[(x - xC)^2 + (y - yC)^2],dA
– Para o centroide C, cujas coordenadas são ,

Passo 3

Em geral é complicado fazer a integral direto duas vezes, então lembramos do Teorema dos Eixos Paralelos (ou Steiner) para momentos polares:
JO = JC + Al(xC^2 + yC^2r),
onde é a área total da seção.
Ou seja, uma vez que você calcule (mais simples, porque as integrais centrifugam em torno do próprio centroide) e conheça as coordenadas do centroide e a área, você obtém sem refazer a integral toda.

Passo 4

Significado físico:
– O momento polar de inércia mede a “distribuição de área” em torno de um ponto, pesando distância ao quadrado.
– Quanto maior , mais “distância” tem a área do ponto escolhido, ou seja, maior resistência à torção (girações) ou à aplicação de momentos que tentem “rodar” a seção em torno desse ponto.
– Em mecânica dos corpos rígidos, o momento polar de inércia de massa aparece do mesmo jeito, só que com densidade volumétrica em vez de densidade de área.

Resposta

boxed JO &= integral duplaA (x^2 + y^2),dA, JC &= integral duplaA l[(x - xC)^2 + (y - yC)^2r],dA, e ainda va<= o teorema: JO &= JC + A,(xC^2 + yC^2)
Fisicamente, esses valores quantificam a “resistência à rotação” da área em torno da origem ou do seu próprio centroide.

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