P 1.2 Duas esferas metálicas de mesmo raio a estão separadas entre si por uma distância r muito maior do que a. Uma esfera tem carga q_{1} \mathrm{e} a outra tem carga -q_{2}, e elas se atraem com força de intensidade F. Um fio condutor faz contato simultâneo com as duas esferas de modo que elas possam trocar cargas entre si, e após isto o fio é retirado. (A) Mostre que as duas cargas passarão a se repelir (exceto se q_{1}=q_{2} ) e calcule a intensidade da força F^{\prime} de repulsão entre elas. ( B ) Determine os valores possíveis para a razão q_{2} / q_{1} para que se tenha F=F^{\prime}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Duas esferas metálicas idênticas de raio a.
    • As esferas estão separadas por uma distância r tal que r \gg a.
    • Uma esfera tem carga q_{1} e a outra tem carga -q_{2}, com q_{1}>0 e q_{2}>0 (os sinais estão explícitos no enunciado).
    • Inicialmente elas se atraem com intensidade de força F.
  • O que se pede:
    • (A) Mostrar que, após conectar as esferas por um fio condutor (permitindo troca de carga) e depois separar o fio, as cargas passarão a se repelir, exceto no caso q_{1}=q_{2}; e calcular a intensidade da nova força F' de repulsão entre elas.
    • (B) Determinar os valores possíveis da razão \dfrac{q_{2}}{q_{1}} tais que F'=F.
Observação útil já aqui: a força inicial F entre as cargas puntiformes (como r\gg a) obedece à lei de Coulomb:
F = k\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}. Vou usar essa fórmula quando for conveniente.

Passo 2

Conservação de carga e igualdade de potencial ao conectar por fio — por que as cargas ficam iguais.
  • Conservação de carga: ao unir as duas esferas por um fio condutor, a carga total do sistema é preservada (não há perda para o infinito). Portanto o total após contato é
Q_{\text{total}} = q_{1} + (-q_{2}) = q_{1}-q_{2}.
  • Igualdade de potencial: dois condutores conectados por fio atingem o mesmo potencial elétrico. O potencial elétrico de uma esfera condutora isolada de raio a e carga Q é
V=\;k\,\frac{Q}{a},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}. Como as duas esferas têm o mesmo raio a, quando conectadas elas ficam com o mesmo potencial somente se tiverem a mesma carga. Logo, após equilíbrio de contato as cargas finais nas esferas são iguais. Chamando essa carga por esfera de q', tem-se
q' = \frac{Q_{\text{total}}}{2} = \frac{q_{1}-q_{2}}{2}.
Explicando de forma bem direta: o fio permite que elétrons se movam até que ambos os corpos tenham o mesmo potencial; por serem idênticos (mesmo raio) o potencial igual implica cargas iguais; a conservação de carga dá o valor comum.

Passo 3

Determinar o sinal das cargas finais e concluir sobre atração/repulsão.
A carga final em cada esfera é
q'=\frac{q_{1}-q_{2}}{2}.
  • Se q_{1}>q_{2} então q'>0: ambas as esferas ficam positivamente carregadas e, portanto, se repelem.
  • Se q_{1}<q_{2} então q'<0: ambas as esferas ficam negativamente carregadas e, portanto, se repelem.
  • Se q_{1}=q_{2} então q'=0: ambas ficam neutras e não há força entre elas.
Portanto, exceto no caso q_{1}=q_{2}, após o contato as esferas terão cargas de mesmo sinal e se repelirão, como pedido.

Passo 4

Cálculo da intensidade da força F' de repulsão entre as esferas após o contato.
Para r\gg a podemos tratar cada esfera como carga puntiforme localizada no seu centro. A força elétrica entre duas cargas iguais q' separadas por r é, pela lei de Coulomb,
F' = k\,\frac{{q'}^{2}}{r^{2}}.
Substituindo q'=\dfrac{q_{1}-q_{2}}{2} obtemos
F' = k\,\frac{\left(\dfrac{q_{1}-q_{2}}{2}\right)^{2}}{r^{2}} = k\,\frac{(q_{1}-q_{2})^{2}}{4\,r^{2}}.
É útil escrever F' em função da força inicial F. Como usamos acima
F = k\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}},
temos
\frac{k}{r^{2}}=\frac{F}{q_{1}q_{2}}.
Substituindo na expressão de F',
F' = \frac{(q_{1}-q_{2})^{2}}{4}\cdot\frac{k}{r^{2}} = \frac{(q_{1}-q_{2})^{2}}{4 q_{1} q_{2}}\;F.
Essa é a expressão que relaciona a nova força F' com a antiga F.

Passo 5

Resolver (B): valores de \dfrac{q_{2}}{q_{1}} tal que F'=F.
Pedir F'=F equivale a exigir
\frac{(q_{1}-q_{2})^{2}}{4 q_{1} q_{2}} = 1.
Defina x=\dfrac{q_{2}}{q_{1}} (note x>0). Dividindo numerador e denominador por q_{1}^{2} obtemos
\frac{(1-x)^{2}}{4x} = 1.
Multiplicando ambos os lados por 4x:
(1-x)^{2} = 4x.
Expandindo:
1 - 2x + x^{2} = 4x \quad\Rightarrow\quad x^{2} - 6x + 1 = 0.
Resolvendo a equação quadrática pelo método da fórmula de Bhaskara:
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}.
Portanto as duas razões possíveis são
\frac{q_{2}}{q_{1}} = 3 + 2\sqrt{2} \quad\text{ou}\quad \frac{q_{2}}{q_{1}} = 3 - 2\sqrt{2}.
Ambas são positivas, então fisicamente admissíveis dado q_{1},q_{2}>0.

Resposta

(A) \displaystyle F' = k\,\frac{(q_{1}-q_{2})^{2}}{4\,r^{2}} = \frac{(q_{1}-q_{2})^{2}}{4\,q_{1}q_{2}}\;F.
(B) \displaystyle \frac{q_{2}}{q_{1}} = 3 + 2\sqrt{2}\quad\text{ou}\quad\frac{q_{2}}{q_{1}} = 3 - 2\sqrt{2}

Exercícios relacionados