P 1.2 Duas esferas metálicas de mesmo raio
estão separadas entre si por uma distância
muito maior do que
. Uma esfera tem carga
a outra tem carga
, e elas se atraem com força de intensidade
. Um fio condutor faz contato simultâneo com as duas esferas de modo que elas possam trocar cargas entre si, e após isto o fio é retirado. (A) Mostre que as duas cargas passarão a se repelir (exceto se
) e calcule a intensidade da força
de repulsão entre elas. (
) Determine os valores possíveis para a razão
para que se tenha
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Duas esferas metálicas idênticas de raio
. - As esferas estão separadas por uma distância
tal que . - Uma esfera tem carga
e a outra tem carga , com e (os sinais estão explícitos no enunciado). - Inicialmente elas se atraem com intensidade de força
.
- Duas esferas metálicas idênticas de raio
-
O que se pede:
- (A) Mostrar que, após conectar as esferas por um fio condutor (permitindo troca de carga) e depois separar o fio, as cargas passarão a se repelir, exceto no caso
; e calcular a intensidade da nova força de repulsão entre elas. - (B) Determinar os valores possíveis da razão
tais que .
- (A) Mostrar que, após conectar as esferas por um fio condutor (permitindo troca de carga) e depois separar o fio, as cargas passarão a se repelir, exceto no caso
Observação útil já aqui: a força inicial
entre as cargas puntiformes (como
) obedece à lei de Coulomb:
onde
. Vou usar essa fórmula quando for conveniente.
Passo 2
Conservação de carga e igualdade de potencial ao conectar por fio — por que as cargas ficam iguais.
- Conservação de carga: ao unir as duas esferas por um fio condutor, a carga total do sistema é preservada (não há perda para o infinito). Portanto o total após contato é
- Igualdade de potencial: dois condutores conectados por fio atingem o mesmo potencial elétrico. O potencial elétrico de uma esfera condutora isolada de raio
e carga é
onde
. Como as duas esferas têm o mesmo raio
, quando conectadas elas ficam com o mesmo potencial somente se tiverem a mesma carga. Logo, após equilíbrio de contato as cargas finais nas esferas são iguais. Chamando essa carga por esfera de
, tem-se
Explicando de forma bem direta: o fio permite que elétrons se movam até que ambos os corpos tenham o mesmo potencial; por serem idênticos (mesmo raio) o potencial igual implica cargas iguais; a conservação de carga dá o valor comum.
Passo 3
Determinar o sinal das cargas finais e concluir sobre atração/repulsão.
A carga final em cada esfera é
- Se
então : ambas as esferas ficam positivamente carregadas e, portanto, se repelem. - Se
então : ambas as esferas ficam negativamente carregadas e, portanto, se repelem. - Se
então : ambas ficam neutras e não há força entre elas.
Portanto, exceto no caso
, após o contato as esferas terão cargas de mesmo sinal e se repelirão, como pedido.
Passo 4
Cálculo da intensidade da força
de repulsão entre as esferas após o contato.
Para
podemos tratar cada esfera como carga puntiforme localizada no seu centro. A força elétrica entre duas cargas iguais
separadas por
é, pela lei de Coulomb,
Substituindo
obtemos
É útil escrever
em função da força inicial
. Como usamos acima
temos
Substituindo na expressão de
,
Essa é a expressão que relaciona a nova força
com a antiga
.
Passo 5
Resolver (B): valores de
tal que
.
Pedir
equivale a exigir
Defina
(note
). Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática pelo método da fórmula de Bhaskara:
Portanto as duas razões possíveis são
Ambas são positivas, então fisicamente admissíveis dado
.
Resposta
(A)
(B)