Se
é um inteiro positivo e
é uma sucessão convergente, mostre que
é também convergente e
. Observe que a sucessão
pode convergir sem que (
) convirja. Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
- Dado um inteiro positivo
e uma sucessão convergente , mostrar que a sucessão também converge. - Mostrar que
. - Dar um exemplo que mostre que é possível ter
convergente mesmo quando não converge.
Informações relevantes fornecidas:
-
é um inteiro positivo. -
é convergente (portanto existe ). - Precisa-se provar a convergência de
e a igualdade dos limites, e também fornecer o exemplo pedido.
Passo 2
Lema (sequência convergente implica limitada). Vou mostrar um fato que usarei depois: se
converge para
então
é limitada.
Prova do lema, passo a passo:
- Como
, existe tal que para todo vale . - Para esses
temos (pois ). - Para os índices finitos
a sequência tem apenas um número finito de termos, portanto existe um que é o máximo dos valores . - Tomando
obtemos para todo . Logo é limitada.
Esse lema será útil para controlar produtos.
Passo 3
Teorema do produto (ferramenta): se
e
então
. Vou demonstrar este resultado porque ele é a base da prova por indução para potências.
Prova do teorema do produto (ε–N, detalhado):
- Como
e , pela Passo 2 ambas as sequências são limitadas; em particular existem constantes e tais que e para todo . (Na prática basta garantir limites do tipo e a partir de certo índice; vou fazer essa escolha concreta.) - Escolha
tal que para todo temos e . Então para vale e . - Seja
dado. Quero tal que para todo valha . - Observe a identidade (apenas reescrevendo):
- Para tornar essa soma pequena, basta garantir que cada parcela seja <
. Pelo que fixei acima, para temos . Logo é suficiente escolher tal que para todo tenha
e escolher
tal que para todo
tenha
(Tais
existem porque
e
.)
- Tomando
, para todo vale
- Isso prova que
.
Comentário amigo: a ideia é usar que termos convergentes ficam próximos do limite e, depois de um índice, também são limitados, o que permite controlar o produto das diferenças.
Passo 4
Estratégia para potências: usar indução sobre
. A ideia é tratar
trivialmente e, supondo o resultado para
, usar o teorema do produto para passar de
para
.
Passo 5
Base da indução:
- Para
a afirmação é óbvia: .
Passo indutivo:
- Suponha que para certo
já sabemos que, se , então . - Considere
. Observe que . - Pelas hipóteses da indução temos
e por hipótese original . - Aplicando o teorema do produto do Passo 3 à sequência
e , obtemos
- Assim a propriedade vale para
.
Passo 6
Fechamento da indução:
- Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro positivo
: se então . - Isso prova que
é convergente e que
Passo 7
Exemplo que mostra o fenômeno inverso (ou seja,
pode convergir mesmo quando
não converge):
- Tome
. A sequência não converge porque tem duas subsequências com limites distintos: a subsequência dos índices pares é e a dos ímpares é . - Para
par (por exemplo ) temos para todo . Logo é constante igual a , portanto converge (para ), embora não convirja. - Isso atende ao pedido de exemplo.
Resposta
Exemplo:
não converge, mas para
par (por exemplo
) tem
para todo
, então
converge (para
).