Se p é um inteiro positivo e \left(a_{n}\right) é uma sucessão convergente, mostre que \left(a_{n}^{p}\right) é também convergente e \lim a_{n}^{p}=\left(\lim a_{n}\right)^{p}. Observe que a sucessão \left(a_{n}^{p}\right) pode convergir sem que ( a_{n} ) convirja. Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
  • Dado um inteiro positivo p e uma sucessão convergente \left(a_{n}\right), mostrar que a sucessão \left(a_{n}^{p}\right) também converge.
  • Mostrar que \displaystyle \lim a_{n}^{p}=\bigl(\lim a_{n}\bigr)^{p}.
  • Dar um exemplo que mostre que é possível ter \left(a_{n}^{p}\right) convergente mesmo quando \left(a_{n}\right) não converge.
Informações relevantes fornecidas:
  • p é um inteiro positivo.
  • \left(a_{n}\right) é convergente (portanto existe a=\lim a_{n}).
  • Precisa-se provar a convergência de \left(a_{n}^{p}\right) e a igualdade dos limites, e também fornecer o exemplo pedido.

Passo 2

Lema (sequência convergente implica limitada). Vou mostrar um fato que usarei depois: se \left(a_{n}\right) converge para a então \left(a_{n}\right) é limitada.
Prova do lema, passo a passo:
  • Como \lim a_{n}=a, existe N tal que para todo n\ge N vale |a_{n}-a|<1.
  • Para esses n\ge N temos |a_{n}|\le |a|+1 (pois |a_{n}|\le |a|+|a_{n}-a|<|a|+1).
  • Para os índices finitos n< N a sequência tem apenas um número finito de termos, portanto existe um M_0 que é o máximo dos valores |a_1|,\dots,|a_{N-1}|.
  • Tomando M=\max\{M_0,|a|+1\} obtemos |a_n|\le M para todo n. Logo \left(a_{n}\right) é limitada.
Esse lema será útil para controlar produtos.

Passo 3

Teorema do produto (ferramenta): se \lim a_{n}=a e \lim b_{n}=b então \lim (a_{n}b_{n})=ab. Vou demonstrar este resultado porque ele é a base da prova por indução para potências.
Prova do teorema do produto (ε–N, detalhado):
  • Como a_{n}\to a e b_{n}\to b, pela Passo 2 ambas as sequências são limitadas; em particular existem constantes K e L tais que |a_n|\le K e |b_n|\le L para todo n. (Na prática basta garantir limites do tipo |a_n|\le |a|+1 e |b_n|\le |b|+1 a partir de certo índice; vou fazer essa escolha concreta.)
  • Escolha N_0 tal que para todo n\ge N_0 temos |a_n-a|<1 e |b_n-b|<1. Então para n\ge N_0 vale |a_n|\le |a|+1 e |b_n|\le |b|+1.
  • Seja \varepsilon>0 dado. Quero N tal que para todo n\ge N valha |a_n b_n - ab|<\varepsilon.
  • Observe a identidade (apenas reescrevendo):
|a_n b_n - ab| = |a_n(b_n-b) + b(a_n-a)| \le |a_n|\,|b_n-b| + |b|\,|a_n-a|.
  • Para tornar essa soma pequena, basta garantir que cada parcela seja < \varepsilon/2. Pelo que fixei acima, para n\ge N_0 temos |a_n|\le |a|+1. Logo é suficiente escolher N_1 tal que para todo n\ge N_1 tenha
|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)},
e escolher N_2 tal que para todo n\ge N_2 tenha
|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}.
(Tais N_1,N_2 existem porque b_n\to b e a_n\to a.)
  • Tomando N=\max\{N_0,N_1,N_2\}, para todo n\ge N vale
|a_n b_n - ab| \le (|a|+1)\cdot\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} + |b|\cdot\frac{\varepsilon}{2(|b|+1)} < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
  • Isso prova que a_n b_n \to ab.
Comentário amigo: a ideia é usar que termos convergentes ficam próximos do limite e, depois de um índice, também são limitados, o que permite controlar o produto das diferenças.

Passo 4

Estratégia para potências: usar indução sobre p. A ideia é tratar p=1 trivialmente e, supondo o resultado para p=k, usar o teorema do produto para passar de k para k+1.

Passo 5

Base da indução:
  • Para p=1 a afirmação é óbvia: \lim a_{n}^{1}=\lim a_{n}=a=\bigl(\lim a_{n}\bigr)^{1}.
Passo indutivo:
  • Suponha que para certo k\ge 1 já sabemos que, se a_{n}\to a, então a_{n}^{k}\to a^{k}.
  • Considere p=k+1. Observe que a_{n}^{k+1}=a_{n}^{k}\cdot a_{n}.
  • Pelas hipóteses da indução temos \lim a_{n}^{k}=a^{k} e por hipótese original \lim a_{n}=a.
  • Aplicando o teorema do produto do Passo 3 à sequência a_{n}^{k} e a_{n}, obtemos
\lim a_{n}^{k+1}=\lim\bigl(a_{n}^{k}\cdot a_{n}\bigr)=\bigl(\lim a_{n}^{k}\bigr)\cdot\bigl(\lim a_{n}\bigr)=a^{k}\cdot a=a^{k+1}.
  • Assim a propriedade vale para k+1.

Passo 6

Fechamento da indução:
  • Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo inteiro positivo p: se a_{n}\to a então a_{n}^{p}\to a^{p}.
  • Isso prova que \left(a_{n}^{p}\right) é convergente e que
\lim a_{n}^{p}=\bigl(\lim a_{n}\bigr)^{p}.

Passo 7

Exemplo que mostra o fenômeno inverso (ou seja, \left(a_n^p\right) pode convergir mesmo quando \left(a_n\right) não converge):
  • Tome a_n = (-1)^n. A sequência \left(a_n\right) não converge porque tem duas subsequências com limites distintos: a subsequência dos índices pares é 1 e a dos ímpares é -1.
  • Para p par (por exemplo p=2) temos a_n^p = ((-1)^n)^p = 1 para todo n. Logo \left(a_n^p\right) é constante igual a 1, portanto converge (para 1), embora \left(a_n\right) não convirja.
  • Isso atende ao pedido de exemplo.

Resposta

\displaystyle \text{Se }p\in\mathbb{Z}_{>0}\text{ e }a_{n}\to a\text{ então }a_{n}^{p}\to a^{p}ã, ou seja \displaystyle \lim a_{n}^{p}=\bigl(\lim a_{n}\bigr)^{p}.
Exemplo: a_{n}=(-1)^{n} não converge, mas para p par (por exemplo p=2) tem a_{n}^{2}=1 para todo n, então \left(a_{n}^{2}\right) converge (para 1).

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