Se p é um número ímpar, então p^{2} também o é. Como consequência deduza que se p^{2} é par, então p também é par.

Passo 1

O enunciado afirma duas coisas:
  1. Se p é ímpar, então p^{2} é ímpar.
  2. Como consequência, deduzir que se p^{2} é par, então p é par.
    O conteúdo envolvido é a definição de números pares e ímpares e o uso da contraposição de uma implicação.

Passo 2

Para mostrar que “se p é ímpar então p^{2} é ímpar”, usamos a definição de ímpar. Suponha que p seja ímpar. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que
p = 2k + 1.
Elevando ao quadrado, obtemos
p^{2} = (2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2\bigl(2k^{2} + 2k\bigr) + 1.
Como 2k^{2}+2k é inteiro, concluímos que p^{2} tem a forma 2(\text{inteiro})+1, ou seja, é ímpar.

Passo 3

A implicação “se p é ímpar então p^{2} é ímpar” tem como contrapositiva lógica a afirmação “se p^{2} não é ímpar (isto é, é par) então p não é ímpar (isto é, é par)”. Logo, deduzimos imediatamente que
\text{se }p^{2}\text{ é par, então }p\text{ é par}.éãé

Resposta

Como consequência da prova anterior, temos que se p^{2} é par, então p também é par.

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