O número
não é racional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não pertence ao conjunto dos números racionais, ou seja, é irracional. O conteúdo envolve a definição de número racional e usa uma prova por contradição, mostrando que assumir
leva a um conflito com a forma irredutível de uma fração.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja racional. Então existem inteiros
e
sem fator comum maior que
(ou seja,
) tais que
Passo 3
Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos
Isto mostra que
é par (multiplo de
), logo
também é par.
Passo 4
Como
é par, existem
tais que
. Substituindo em
dá
Logo
é par, e portanto
também é par.
Passo 5
Encontramos que tanto
quanto
são pares, ou seja, têm pelo menos o fator
em comum. Isso contradiz a hipótese de que
.
Resposta
Portanto, nossa suposição inicial está errada e concluímos que
não é racional.