O número \sqrt{2} não é racional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \sqrt{2} não pertence ao conjunto dos números racionais, ou seja, é irracional. O conteúdo envolve a definição de número racional e usa uma prova por contradição, mostrando que assumir \sqrt{2}\in\mathbb{Q} leva a um conflito com a forma irredutível de uma fração.

Passo 2

Suponha, por contradição, que \sqrt{2} seja racional. Então existem inteiros p e q\neq0 sem fator comum maior que 1 (ou seja, \gcd(p,q)=1) tais que
\sqrt{2}=\frac{p}{q}.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos
2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \quad\Longrightarrow\quad p^{2} = 2\,q^{2}.
Isto mostra que p^{2} é par (multiplo de 2), logo p também é par.

Passo 4

Como p é par, existem k\in\mathbb{Z} tais que p=2k. Substituindo em p^{2}=2q^{2}
(2k)^{2} = 2\,q^{2} \quad\Longrightarrow\quad 4\,k^{2} = 2\,q^{2} \quad\Longrightarrow\quad q^{2}=2\,k^{2}.
Logo q^{2} é par, e portanto q também é par.

Passo 5

Encontramos que tanto p quanto q são pares, ou seja, têm pelo menos o fator 2 em comum. Isso contradiz a hipótese de que \gcd(p,q)=1.

Resposta

Portanto, nossa suposição inicial está errada e concluímos que \sqrt{2} não é racional.

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