Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando cada resposta.
(a) Se x<2, então x^{2}<4.
(b) Se x^{2}<4, então x<2.
(c) Se 0 \leq x \leq 2, então x^{2} \leq 4.
(d) Se x<2, então x \leq 3.
(e) Se x=3, então x \leq 3.
(f) Se |x|>2, então x>2.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiras (V) ou falsas (F) seis afirmações do tipo “se P então Q”, envolvendo desigualdades e valor absoluto. Vamos usar o conteúdo de lógica matemática sobre implicações: sabemos que uma implicação P\implies Q é falsa somente quando P é verdadeira e Q é falsa; nos demais casos ela é verdadeira.

Passo 2

Definição de implicação: para uma afirmação “se P então Q”:
- se existir algum caso em que P é verdadeiro e Q é falso, a implicação é falsa;
- caso contrário (isto é, sempre que P for falso ou sempre que Q for verdadeiro quando P for verdadeiro), a implicação é verdadeira.

Passo 3

Analisando (a) “Se x<2, então x^{2}<4.”
Tomemos x=-3. Então x<2 é verdadeiro, mas
(-3)^{2}=9\not<4,
ou seja, Q é falso quando P é verdadeiro. Logo a implicação é falsa.

Passo 4

Analisando (b) “Se x^{2}<4, então x<2.”
A condição x^{2}<4 equivale a -2<x<2. Em todo esse intervalo temos sempre x<2. Não há caso em que P seja verdadeiro e Q falso. Portanto, a implicação é verdadeira.

Passo 5

Analisando (c) “Se 0\le x\le2, então x^{2}\le4.”
Para x em [0,2], a função quadrado é crescente em x\ge0, então o maior valor de x^{2} ocorre em x=2, dando 2^{2}=4. Logo sempre x^{2}\le4 quando 0\le x\le2. A implicação é verdadeira.

Passo 6

Analisando (d) “Se x<2, então x\le3.”
Qualquer número menor que 2 é automaticamente menor ou igual a 3. Não existe x<2 que viole x\le3. Logo a implicação é verdadeira.

Passo 7

Analisando (e) “Se x=3, então x\le3.”
Quando x=3, claramente 3\le3 é verdadeiro. Então sempre que P ocorre, Q também ocorre, tornando a implicação verdadeira.

Passo 8

Analisando (f) “Se \lvert x\rvert>2, então x>2.”
Tomemos x=-3. Então \lvert -3\rvert=3>2 faz P verdadeiro, mas x>2 é falso. Há um caso em que P é verdadeiro e Q é falso, logo a implicação é falsa.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) V
(e) V
(f) F

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