Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando cada resposta.
(a) Se
, então
.
(b) Se
, então
.
(c) Se
, então
.
(d) Se
, então
.
(e) Se
, então
.
(f) Se
, então
.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
(e) Se
(f) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiras (V) ou falsas (F) seis afirmações do tipo “se
então
”, envolvendo desigualdades e valor absoluto. Vamos usar o conteúdo de lógica matemática sobre implicações: sabemos que uma implicação
é falsa somente quando
é verdadeira e
é falsa; nos demais casos ela é verdadeira.
Passo 2
Definição de implicação: para uma afirmação “se
então
”:
- se existir algum caso em que é verdadeiro e
é falso, a implicação é falsa;
- caso contrário (isto é, sempre que for falso ou sempre que
for verdadeiro quando
for verdadeiro), a implicação é verdadeira.
- se existir algum caso em que
- caso contrário (isto é, sempre que
Passo 3
Analisando (a) “Se
, então
.”
Tomemos . Então
é verdadeiro, mas
Tomemos
ou seja,
é falso quando
é verdadeiro. Logo a implicação é falsa.
Passo 4
Analisando (b) “Se
, então
.”
A condição equivale a
. Em todo esse intervalo temos sempre
. Não há caso em que
seja verdadeiro e
falso. Portanto, a implicação é verdadeira.
A condição
Passo 5
Analisando (c) “Se
, então
.”
Para em
, a função quadrado é crescente em
, então o maior valor de
ocorre em
, dando
. Logo sempre
quando
. A implicação é verdadeira.
Para
Passo 6
Analisando (d) “Se
, então
.”
Qualquer número menor que é automaticamente menor ou igual a
. Não existe
que viole
. Logo a implicação é verdadeira.
Qualquer número menor que
Passo 7
Analisando (e) “Se
, então
.”
Quando , claramente
é verdadeiro. Então sempre que
ocorre,
também ocorre, tornando a implicação verdadeira.
Quando
Passo 8
Analisando (f) “Se
, então
.”
Tomemos . Então
faz
verdadeiro, mas
é falso. Há um caso em que
é verdadeiro e
é falso, logo a implicação é falsa.
Tomemos
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) V
(e) V
(f) F
(b) V
(c) V
(d) V
(e) V
(f) F