Se
é um número inteiro, tal que
é divisível por 3 , mostre que
também o é. Use este fato para mostrar que o número
não é racional.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que, se
é inteiro e
divide
, então
também divide
. Em seguida, usar esse fato para provar que
não pode ser escrito como quociente de dois inteiros, ou seja, é irracional. O conteúdo envolve teoria de divisibilidade e prova por contradição.
Passo 2
Vamos provar o seguinte lema: “Se um inteiro
satisfaz
, então
.”
Qualquer inteiro pode ser escrito na forma
Qualquer inteiro
com
e resto
. Então
Se
, então
, logo
. Mas, entre
, apenas
satisfaz
. Portanto
e
como queríamos.
Passo 3
Para provar que
é irracional, façamos prova por contradição. Suponha que
onde
e
são inteiros sem fator comum além de
(forma irredutível). Elevando ao quadrado:
Daí
, e pelo lema do Passo 2 segue
. Escreva
. Substituindo em
dá
logo
e novamente, pelo lema,
. Concluímos que
e
têm o fator
em comum, o que contradiz a hipótese de estarem em forma irredutível. Logo não existe tal representação racional.
Resposta
A raiz quadrada de
não é racional; isto é,
é irracional.