Se p é um número inteiro, tal que p^{2} é divisível por 3 , mostre que p também o é. Use este fato para mostrar que o número \sqrt{3} não é racional.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que, se p é inteiro e 3 divide p^{2}, então 3 também divide p. Em seguida, usar esse fato para provar que \sqrt{3} não pode ser escrito como quociente de dois inteiros, ou seja, é irracional. O conteúdo envolve teoria de divisibilidade e prova por contradição.

Passo 2

Vamos provar o seguinte lema: “Se um inteiro p satisfaz 3\mid p^{2}, então 3\mid p.”
Qualquer inteiro p pode ser escrito na forma
p=3q+r,
com q\in\mathbb{Z} e resto r\in\{0,1,2\}. Então
p^{2}=(3q+r)^{2}=9q^{2}+6qr+r^{2}\equiv r^{2}\pmod{3}.
Se 3\mid p^{2}, então p^{2}\equiv0\pmod{3}, logo r^{2}\equiv0\pmod{3}. Mas, entre r=0,1,2, apenas r=0 satisfaz r^{2}\equiv0\pmod{3}. Portanto r=0 e
p=3q\quad\Longrightarrow\quad3\mid p,
como queríamos.

Passo 3

Para provar que \sqrt{3} é irracional, façamos prova por contradição. Suponha que
\sqrt{3}=\frac{a}{b},
onde a e b são inteiros sem fator comum além de 1 (forma irredutível). Elevando ao quadrado:
3=\frac{a^{2}}{b^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 3b^{2}=a^{2}.
Daí 3\mid a^{2}, e pelo lema do Passo 2 segue 3\mid a. Escreva a=3k. Substituindo em 3b^{2}=a^{2}
3b^{2}=(3k)^{2}=9k^{2} \quad\Longrightarrow\quad b^{2}=3k^{2},
logo 3\mid b^{2} e novamente, pelo lema, 3\mid b. Concluímos que a e b têm o fator 3 em comum, o que contradiz a hipótese de estarem em forma irredutível. Logo não existe tal representação racional.

Resposta

A raiz quadrada de 3 não é racional; isto é, \sqrt{3} é irracional.

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