Sejam r um número racional e x um irracional.
(a) Mostre que x+r é irracional.
(b) Se r \neq 0, mostre que o produto x \cdot r é irracional.

Passo 1

O enunciado diz que r é racional e x é irracional. Precisamos provar duas coisas usando as propriedades de fecho dos números racionais e um argumento por contradição:
  1. Que x + r é irracional.
  2. Que, se r \neq 0, então x \cdot r é irracional.

Passo 2

Para a parte (a), suponha, por contradição, que x + r seja racional. Como os números racionais são fechados sob subtração, temos
(x + r) - r
é racional menos racional, logo racional. Mas
(x + r) - r = x.
Isso implicaria que x é racional, o que contradiz a hipótese de que x é irracional. Portanto a suposição estava errada e x + r deve ser irracional.

Passo 3

Para a parte (b), suponha agora que r \neq 0 e que, por contradição, o produto x \cdot r seja racional. Como os números racionais são fechados sob divisão por não-zero, temos
\frac{x \cdot r}{r}
é racional dividido por racional não-zero, logo racional. Mas
\frac{x \cdot r}{r} = x.
Isso implicaria novamente que x é racional, contradizendo a hipótese. Logo x \cdot r não pode ser racional, isto é, deve ser irracional.

Resposta

(a) x + r é irracional.
(b) Se r \neq 0, então x \cdot r é irracional.

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