Sejam
um número racional e
um irracional.
(a) Mostre que
é irracional.
(b) Se
, mostre que o produto
é irracional.
(a) Mostre que
(b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é racional e
é irracional. Precisamos provar duas coisas usando as propriedades de fecho dos números racionais e um argumento por contradição:
- Que
é irracional. - Que, se
, então é irracional.
Passo 2
Para a parte (a), suponha, por contradição, que
seja racional. Como os números racionais são fechados sob subtração, temos
é racional menos racional, logo racional. Mas
Isso implicaria que
é racional, o que contradiz a hipótese de que
é irracional. Portanto a suposição estava errada e
deve ser irracional.
Passo 3
Para a parte (b), suponha agora que
e que, por contradição, o produto
seja racional. Como os números racionais são fechados sob divisão por não-zero, temos
é racional dividido por racional não-zero, logo racional. Mas
Isso implicaria novamente que
é racional, contradizendo a hipótese. Logo
não pode ser racional, isto é, deve ser irracional.
Resposta
(a)
é irracional.
(b) Se , então
é irracional.
(b) Se