O conjunto \mathbb{Q} é fechado para soma e produto.
(a) Mostre que a soma e o produto de dois números racionais é um número racional.
(b) Dê exemplo de dois números irracionais x e y, tais que x+y e x \cdot y sejam racionais.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que o conjunto \mathbb{Q} é fechado para as operações de soma e produto e, em seguida, dar um exemplo de dois irracionais cuja soma e produto sejam racionais. Para isso vamos usar a definição de número racional:
um número a é racional se e só se existem inteiros p e q\neq0 tais que a = \tfrac{p}{q}.

Passo 2

Provar fechamento sob soma. Seja a,b\in\mathbb{Q}. Então existem p,q,r,s\in\mathbb{Z} com q\neq0 e s\neq0 tais que
a = \frac{p}{q} \quad\text{e}\quad b = \frac{r}{s}.
Logo,
a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + qr}{qs}.
Como ps+qr\in\mathbb{Z} e qs\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, concluímos que a+b\in\mathbb{Q}.

Passo 3

Provar fechamento sob produto. Usando as mesmas notações de antes,
a \cdot b = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs}.
Como pr\in\mathbb{Z} e qs\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, segue que a\cdot b\in\mathbb{Q}.

Passo 4

Dar exemplo de irracionais x,y tais que x+y e x\cdot y sejam racionais. Um par clássico é
x = \sqrt{2}, \qquad y = -\sqrt{2},
ambos irracionais, e
x + y = 0, \qquad x \cdot y = -2,
que são números racionais.

Resposta

(a) Sejam a=\tfrac{p}{q} e b=\tfrac{r}{s} com p,q,r,s\in\mathbb{Z} e q,s\neq0. Então
a+b = \frac{ps+qr}{qs}\in\mathbb{Q}, \qquad a\cdot b = \frac{pr}{qs}\in\mathbb{Q}.
(b) Por exemplo, x=\sqrt{2} e y=-\sqrt{2} são irracionais e satisfazem
x+y=0, \qquad x\cdot y=-2,
ambos racionais.

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