O conjunto
é fechado para soma e produto.
(a) Mostre que a soma e o produto de dois números racionais é um número racional.
(b) Dê exemplo de dois números irracionais
e
, tais que
e
sejam racionais.
(a) Mostre que a soma e o produto de dois números racionais é um número racional.
(b) Dê exemplo de dois números irracionais
Passo 1
O enunciado quer mostrar que o conjunto
é fechado para as operações de soma e produto e, em seguida, dar um exemplo de dois irracionais cuja soma e produto sejam racionais. Para isso vamos usar a definição de número racional:
um número é racional se e só se existem inteiros
e
tais que
.
um número
Passo 2
Provar fechamento sob soma. Seja
. Então existem
com
e
tais que
Logo,
Como
e
, concluímos que
.
Passo 3
Provar fechamento sob produto. Usando as mesmas notações de antes,
Como
e
, segue que
.
Passo 4
Dar exemplo de irracionais
tais que
e
sejam racionais. Um par clássico é
ambos irracionais, e
que são números racionais.
Resposta
(a) Sejam
e
com
e
. Então
(b) Por exemplo,
e
são irracionais e satisfazem
ambos racionais.