Sejam a, b inteiros não nulos que são relativamente primos entre si. Mostre que \operatorname{mdc}\left(a^{n}, b^{n}\right)=1 para todo n \geq 1.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Dados: a e b são inteiros não nulos e relativamente primos entre si. Ou seja,
\operatorname{mdc}(a,b)=1.
  • Pedido: mostrar que para todo inteiro n com n\ge 1 vale
\operatorname{mdc}\bigl(a^{n},b^{n}\bigr)=1.

Passo 2

Lembrete dos conceitos que vou usar (explicadinho, passo a passo):
  • Definição: \operatorname{mdc}(x,y) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y. Dizer que x e y são relativamente primos é a mesma coisa que dizer \operatorname{mdc}(x,y)=1.
  • Observação útil (forma prática de trabalhar com \operatorname{mdc}): se existe um primo p que divide ambos x e y, então p divide qualquer divisor comum de x e y. Em particular, se quisermos provar que \operatorname{mdc}(x,y)=1, basta mostrar que não existe primo p que divida simultaneamente x e y.

Passo 3

Uma ferramenta que vou usar (leve e explicada): lema de Euclides sobre primos
  • Lema (Euclides): se p é primo e p divide o produto xy, então p divide x ou p divide y.
  • Por que isso é verdade (prova curta): suponha p primo e p\mid xy. Se p não divide x, então \operatorname{mdc}(p,x)=1. Pelo Teorema de Bézout (resultado padrão obtido pelo algoritmo de Euclides) existem inteiros u,v tais que
pu + xv = 1.
Multiplicando por y obtemos
p(uy) + x(yv) = y.
Como p divide p(uy) e p divide xy (hipótese), p divide o lado esquerdo inteiro, logo p divide y. Assim, se p não divide x então divide y; portanto p\mid x ou p\mid y. Isso é exatamente o lema.

Passo 4

Estratégia do prova principal (por contradição via primos comuns):
  • Vou provar que não existe primo p que divida simultaneamente a^{n} e b^{n}. Se conseguir isso, então \operatorname{mdc}\bigl(a^{n},b^{n}\bigr)=1.
  • Suponha, para contradizer, que exista um primo p tal que p\mid a^{n} e p\mid b^{n}.

Passo 5

Usar o lema para deduzir que p divide a e b:
  • Do fato p\mid a^{n} note que a^{n}=a\cdot a^{\,n-1}. Aplicando o lema de Euclides a p\mid a\cdot a^{\,n-1} obtemos que p\mid a ou p\mid a^{\,n-1}.
  • Se p\mid a já está ótimo. Se não, então p\mid a^{\,n-1}. Repetindo o argumento (aplicando o lema novamente a a^{\,n-1}=a\cdot a^{\,n-2}) obtemos que p\mid a ou p\mid a^{\,n-2}. Continuando esse processo, depois de no máximo n aplicações encontramos que p\mid a.
  • Portanto, a partir de p\mid a^{n} segue necessariamente p\mid a.
  • O mesmo raciocínio dá que, a partir de p\mid b^{n}, segue p\mid b.

Passo 6

Concluir a contradição e terminar a prova:
  • Do passo anterior, se p divide a^{n} e b^{n} então p divide a e b simultaneamente.
  • Mas isso contradiz a hipótese de que a e b são relativamente primos, isto é, \operatorname{mdc}(a,b)=1. Portanto a suposição de existência de tal primo p é falsa.
  • Conclui-se que não existe primo que divida simultaneamente a^{n} e b^{n}. Logo o único divisor comum possível é 1, e assim
\operatorname{mdc}\bigl(a^{n},b^{n}\bigr)=1
para todo n\ge 1.

Resposta

\operatorname{mdc}\left(a^{n}, b^{n}\right)=1

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