P. 3.6 Use a análise nodal para calcular \mathrm{V}_{1} no circuito.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes valores da imagem):
  • Pedem calcular \mathrm{V}_{1}, que é a tensão do nó central superior em relação ao nó inferior (referência).
  • Resistores e fontes mostrados na imagem:
    • Resistor entre o nó esquerdo (fonte de 10\\ \text{V}) e o nó central: 10\\ \Omega.
    • Outro resistor em paralelo entre o nó esquerdo (mesmo nó de 10\\ \text{V}) e o nó central: 5\\ \Omega.
    • Resistor entre o nó central e o nó direito (fonte de 20\\ \text{V}): 4\\ \Omega.
    • Resistor vertical entre o nó central e o nó inferior (referência/terra): 10\\ \Omega. A tensão desse nó central em relação ao terra é \mathrm{V}_{1}.
    • Fonte à esquerda: 10\\ \text{V} (polo positivo no nó superior esquerdo, negativo no terra).
    • Fonte à direita: 20\\ \text{V} (polo positivo no nó superior direito, negativo no terra).
  • Nó de referência (terra) é o nó inferior comum às fontes e ao resistor vertical.
  • Portanto \mathrm{V}_{1} é o potencial do nó central em relação ao terra, e esse nó está ligado a:
    • ao nó de 10\\ \text{V} por dois resistores (em paralelo) de 10\\ \Omega e 5\\ \Omega;
    • ao nó de 20\\ \text{V} por um resistor de 4\\ \Omega;
    • ao terra por um resistor de 10\\ \Omega.

Passo 2

Ideia básica e convenções (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
  • Vamos usar a Lei dos Nós (KCL): a soma algébrica das correntes que saem de um nó é zero.
  • Para transformar tensões em correntes usamos a Lei de Ohm: a corrente por um resistor é a diferença de potencial dividida pela resistência. Para um resistor entre dois nós com tensões V_a e V_b, a corrente saindo do nó a em direção a b é \dfrac{V_a - V_b}{R}.
  • Aqui tomamos correntes saindo do nó central (com tensão \mathrm{V}_{1}) em direção aos outros nós. Assim, cada termo de corrente terá a forma \dfrac{\mathrm{V}_{1} - V_{\text{outro}}}{R}.

Passo 3

Escrever as correntes pelos quatro ramos que partem do nó central:
  • Corrente pelo resistor 10\\ \Omega que vai ao nó de 10\\ \text{V}: \dfrac{\mathrm{V}_{1} - 10}{10}.
  • Corrente pelo resistor 5\\ \Omega que vai ao nó de 10\\ \text{V}: \dfrac{\mathrm{V}_{1} - 10}{5}.
  • Corrente pelo resistor 4\\ \Omega que vai ao nó de 20\\ \text{V}: \dfrac{\mathrm{V}_{1} - 20}{4}.
  • Corrente pelo resistor vertical 10\\ \Omega que vai ao terra (0 V): \dfrac{\mathrm{V}_{1} - 0}{10} = \dfrac{\mathrm{V}_{1}}{10}.

Passo 4

Aplicar KCL no nó central: soma das correntes saindo é zero.
\frac{\mathrm{V}_{1}-10}{10}+\frac{\mathrm{V}_{1}-10}{5}+\frac{\mathrm{V}_{1}-20}{4}+\frac{\mathrm{V}_{1}}{10}=0.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\mathrm{V}_{1}-10}{10} e \dfrac{\mathrm{V}_{1}-10}{5} representam os dois caminhos para o nó de 10\\ \text{V}.
  • \dfrac{\mathrm{V}_{1}-20}{4} é o caminho para o nó de 20\\ \text{V}.
  • \dfrac{\mathrm{V}_{1}}{10} é o caminho para o terra.

Passo 5

Resolver a equação passo a passo. Primeiro, eliminar denominadores multiplicando por um múltiplo comum. Denominadores: 10,5,4,10. O mínimo múltiplo comum é 20. Multiplicando toda a equação por 20:
20\cdot\frac{\mathrm{V}_{1}-10}{10}+20\cdot\frac{\mathrm{V}_{1}-10}{5}+20\cdot\frac{\mathrm{V}_{1}-20}{4}+20\cdot\frac{\mathrm{V}_{1}}{10}=0.
Calcular cada termo:
2(\mathrm{V}_{1}-10)+4(\mathrm{V}_{1}-10)+5(\mathrm{V}_{1}-20)+2\mathrm{V}_{1}=0.
Agora distribuir e somar termos semelhantes:
(2\mathrm{V}_{1}-20)+(4\mathrm{V}_{1}-40)+(5\mathrm{V}_{1}-100)+2\mathrm{V}_{1}=0.
Somando os coeficientes de \mathrm{V}_{1}:
2\mathrm{V}_{1}+4\mathrm{V}_{1}+5\mathrm{V}_{1}+2\mathrm{V}_{1}=13\mathrm{V}_{1}.
Somando os termos constantes:
-20-40-100=-160.
Portanto a equação fica
13\mathrm{V}_{1}-160=0.

Passo 6

Isolar \mathrm{V}_{1} e calcular:
13\mathrm{V}_{1}=160
\mathrm{V}_{1}=\frac{160}{13}\\ \text{V}.
Se quiser uma aproximação decimal:
\mathrm{V}_{1}\approx 12,3077\\ \text{V}\\ (\text{aprox. }12,31\\ \text{V}).

Resposta

\dfrac{160}{13}\\ \text{V} \approx 12,31\\ \text{V}

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