Um sinal x(t) possui transformada de Fourier \mathrm{X}(\omega). Determine a transformada inversa de Fourier y(t) em termos de x(t) para cada um dos sinais apresentados a seguir:
Y(\omega)=\frac{1}{3} e^{j 2(\omega-2)} X^{*}\left(\frac{\omega-2}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Fourier
Y(\omega)=\frac{1}{3} e^{j 2(\omega-2)} X^{*}\!\!\left(\frac{\omega-2}{3}\right)
e pede para determinar a transformada inversa y(t) em termos de x(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função \mathrm{X}(\omega) é a transformada de Fourier de x(t).
  • Em Y(\omega) aparecem as operações: conjugação complexa de \mathrm{X}, deslocamento em frequência por 2, escala de frequência por 1/3 (argumento (\omega-2)/3) e multiplicação por e^{j2(\omega-2)} além do fator escalar 1/3.
O que precisamos obter: uma expressão de y(t) escrita apenas em termos de x(t) (e operações elementares: conjugação, deslocamento, escala, multiplicação por exponencial, etc.).

Passo 2

Vou lembrar as propriedades da transformada de Fourier que vou usar (cada fórmula é acompanhada da interpretação em tempo):
  1. Conjugação complexa:
\text{Se }x(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;X(\omega)\quad\text{então}\quad X^{*}(\omega)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;x^{*}(-t).ã
Explicação breve: tomar conjugado em frequência corresponde a tomar conjugado no tempo e inverter o tempo (trocar t por -t). Pode-se verificar por conjugação da integral da FT.
2) Escala em frequência (time-scaling):
\text{Se }a(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;A(\omega)\quad\text{então}\quad A\!\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;|\alpha|\,a(\alpha t).ã
Interpretação: comprimir a frequência por \alpha corresponde a alongar no tempo por 1/\alpha e há um fator de amplitude |\alpha|.
3) Deslocamento em frequência (modulação no tempo):
\text{Se }a(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;A(\omega)\quad\text{então}\quad A(\omega-\omega_0)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;e^{j\omega_0 t}a(t).ã
Interpretação: deslocar a função em \omega corresponde a multiplicar no tempo por uma exponencial complexa.
4) Multiplicação por exponencial em frequência (deslocamento no tempo):
\text{Se }a(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;A(\omega)\quad\text{então}\quad e^{j\omega t_0}A(\omega)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;a(t+t_0).ã
Interpretação: multiplicar em \omega por e^{j\omega t_0} desloca a função no tempo por -t_0 (aqui estou tomando a versão conveniente: e^{j\omega t_0} corresponde a a(t+t_0)).
Vou aplicar essas propriedades passo a passo para inverter Y(\omega).

Passo 3

Organizo Y(\omega) como uma sequência de operações aplicadas a \mathrm{X}(\omega). Defino A(\omega)=X^{*}(\omega). Então
Y(\omega)=\frac{1}{3} e^{j2(\omega-2)}\,A\!\left(\frac{\omega-2}{3}\right).
Vou achar a transformada inversa de A\!\left(\dfrac{\omega-2}{3}\right) primeiro, depois incorporar o fator e^{j2(\omega-2)} e o 1/3.

Passo 4

Transformada inversa de A(\omega)=X^{*}(\omega). Pela propriedade de conjugação (1),
A(\omega)=X^{*}(\omega)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;a(t)=x^{*}(-t).
Ou seja, a função no tempo correspondente a X^{*}(\omega) é a(t)=\bigl(x(-t)\bigr)^{*}. (Aqui x^{*} indica conjugado complexo de x.)

Passo 5

Agora considero A\!\left(\dfrac{\omega}{3}\right)=X^{*}\!\left(\dfrac{\omega}{3}\right). Pela propriedade de escala (2) com \alpha=3,
A\!\left(\frac{\omega}{3}\right)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;3\,a(3t).
Substituindo a(t)=x^{*}(-t) obtém-se
X^{*}\!\left(\frac{\omega}{3}\right)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;3\,x^{*}(-3t).
Isso significa: comprimir a frequência por 3 (argumento \omega/3) amplia o tempo por 1/3 e multiplica por 3.

Passo 6

Agora aplico o deslocamento em frequência que transforma \omega em \omega-2. Considere
X^{*}\!\left(\frac{\omega-2}{3}\right)=\biggl[X^{*}\!\left(\frac{\omega'}{3}\right)\biggr]_{\omega'=\omega-2}.
Pela propriedade de deslocamento em frequência (3), deslocar \omega por 2 corresponde a multiplicar no tempo por e^{j2t}. Assim, a inversa de X^{*}\!\bigl(\tfrac{\omega-2}{3}\bigr) é
g(t)=e^{j2t}\cdot 3\,x^{*}(-3t)=3\,e^{j2t}\,x^{*}(-3t).

Passo 7

Finalmente resta multiplicar em frequência por \dfrac{1}{3}e^{j2(\omega-2)}. Escrevo
\frac{1}{3}e^{j2(\omega-2)}=\frac{1}{3}e^{-j4}e^{j2\omega}.
Multiplicar G(\omega)=X^{*}\!\bigl(\tfrac{\omega-2}{3}\bigr) por e^{j2\omega} corresponde, pela propriedade (4), a deslocar no tempo a função g(t) obtida em 1 unidade negativa de tempo? Mais precisamente, pela fórmula usada acima, multiplicar por e^{j\omega t_0} corresponde a substituir t por t+t_0, portanto com t_0=2 temos
e^{j2\omega}\,G(\omega)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;g(t+2).
Então a transformada inversa de e^{j2\omega}X^{*}\!\bigl(\tfrac{\omega-2}{3}\bigr) é
g(t+2)=3\,e^{j2(t+2)}\,x^{*}(-3(t+2)).
Agora multiplico por \dfrac{1}{3}e^{-j4}:
y(t)=\frac{1}{3}e^{-j4}\cdot 3\,e^{j2(t+2)}\,x^{*}(-3(t+2)).
Os fatores 3 e \tfrac{1}{3} se cancelam, e e^{-j4}e^{j2(t+2)}=e^{j2t} porque e^{j2(t+2)}=e^{j2t}e^{j4}. Portanto
y(t)=e^{j2t}\,x^{*}(-3(t+2)).

Passo 8

Faço apenas uma reorganização final do argumento temporal:
-3(t+2)=-3t-6,
então a resposta pode ser escrita de forma mais direta como
y(t)=e^{j2t}\,\bigl(x(-3t-6)\bigr)^{*}.
Interpretação: para obter y(t) do sinal x(t) faça, na ordem indicativa:
  • formar x(-3t-6) (isto é, inverter o tempo, escalar por 3 e deslocar por -6 no argumento),
  • tomar o conjugado complexo,
  • multiplicar por e^{j2t}.

Resposta

y(t)=e^{j2t}\,\bigl(x(-3t-6)\bigr)^{*}

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