Um sinal
possui transformada de Fourier
. Determine a transformada inversa de Fourier
em termos de
para cada um dos sinais apresentados a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Fourier
e pede para determinar a transformada inversa
em termos de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é a transformada de Fourier de . - Em
aparecem as operações: conjugação complexa de , deslocamento em frequência por , escala de frequência por (argumento ) e multiplicação por além do fator escalar .
O que precisamos obter: uma expressão de
escrita apenas em termos de
(e operações elementares: conjugação, deslocamento, escala, multiplicação por exponencial, etc.).
Passo 2
Vou lembrar as propriedades da transformada de Fourier que vou usar (cada fórmula é acompanhada da interpretação em tempo):
- Conjugação complexa:
Explicação breve: tomar conjugado em frequência corresponde a tomar conjugado no tempo e inverter o tempo (trocar
por
). Pode-se verificar por conjugação da integral da FT.
2) Escala em frequência (time-scaling):
2) Escala em frequência (time-scaling):
Interpretação: comprimir a frequência por
corresponde a alongar no tempo por
e há um fator de amplitude
.
3) Deslocamento em frequência (modulação no tempo):
3) Deslocamento em frequência (modulação no tempo):
Interpretação: deslocar a função em
corresponde a multiplicar no tempo por uma exponencial complexa.
4) Multiplicação por exponencial em frequência (deslocamento no tempo):
4) Multiplicação por exponencial em frequência (deslocamento no tempo):
Interpretação: multiplicar em
por
desloca a função no tempo por
(aqui estou tomando a versão conveniente:
corresponde a
).
Vou aplicar essas propriedades passo a passo para inverter
.
Passo 3
Organizo
como uma sequência de operações aplicadas a
. Defino
. Então
Vou achar a transformada inversa de
primeiro, depois incorporar o fator
e o
.
Passo 4
Transformada inversa de
. Pela propriedade de conjugação (1),
Ou seja, a função no tempo correspondente a
é
. (Aqui
indica conjugado complexo de
.)
Passo 5
Agora considero
. Pela propriedade de escala (2) com
,
Substituindo
obtém-se
Isso significa: comprimir a frequência por
(argumento
) amplia o tempo por
e multiplica por 3.
Passo 6
Agora aplico o deslocamento em frequência que transforma
em
. Considere
Pela propriedade de deslocamento em frequência (3), deslocar
por
corresponde a multiplicar no tempo por
. Assim, a inversa de
é
Passo 7
Finalmente resta multiplicar em frequência por
. Escrevo
Multiplicar
por
corresponde, pela propriedade (4), a deslocar no tempo a função
obtida em 1 unidade negativa de tempo? Mais precisamente, pela fórmula usada acima, multiplicar por
corresponde a substituir
por
, portanto com
temos
Então a transformada inversa de
é
Agora multiplico por
:
Os fatores
e
se cancelam, e
porque
. Portanto
Passo 8
Faço apenas uma reorganização final do argumento temporal:
então a resposta pode ser escrita de forma mais direta como
Interpretação: para obter
do sinal
faça, na ordem indicativa:
- formar
(isto é, inverter o tempo, escalar por e deslocar por no argumento), - tomar o conjugado complexo,
- multiplicar por
.