Um sinal
possui transformada de Fourier
. Determine a transformada inversa de Fourier
em termos de
para cada um dos sinais apresentados a seguir:
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Nos é dado que um sinal
tem transformada de Fourier . - O enunciado fornece a função no domínio da frequência
- A pergunta: determinar a transformada inversa de Fourier
em termos de . Ou seja, encontrar tal que tem transformada .
Passo 2
Convenção e propriedades que vamos usar (explicadas devagarinho).
- Convenção de transformada de Fourier usada aqui (padrão mais comum):
Expliquei porque cada símbolo importa:
-
é a transformada de . -
é a frequência angular. - O fator
aparece na inversa nessa convenção.
Propriedades que usaremos (cada uma com interpretação prática):
- Escala no tempo (time‑scaling):
Interpretação: comprimir o sinal no tempo (|a|>1) amplia sua versão em frequência e vem um fator
.
- Reversão temporal (time reversal):
Interpretação: inverter o tempo inverte o sinal de frequência.
- Deslocamento no tempo (time shift):
Interpretação: multiplicar a transformada por
corresponde a deslocar o sinal no tempo em
.
- Linearidade: constantes multiplicativas saem no tempo (se
é transformada de , então corresponde a ).
Vou usar essas propriedades para reconhecer
como a transformada de algum sinal construído a partir de
.
Passo 3
Aplicar a propriedade de escala para tratar o termo
.
Considere
. Usando a propriedade de escala com
(aqui
inclui a reversão de tempo porque é negativo):
Dessa relação isolamos
onde
é a transformada de
.
Obs.: escrevi tudo com calma: a presença do valor absoluto em
fez aparecer
, por isso multiplicamos por
para recuperar
.
Passo 4
Substituir isso em
e interpretar o fator exponencial como deslocamento no tempo.
Partindo de
substituindo
obtemos:
Agora use a propriedade de deslocamento no tempo: multiplicar
por
corresponde a deslocar
para
. Aqui o fator exponencial é
com
Portanto a transformada
corresponde ao sinal
.
Passo 5
Juntando linearidade e o que obtivemos:
-
é a transformada de . -
é a transformada de . - Multiplicar por
na frequência corresponde a multiplicar por no tempo.
Logo
é a transformada de
Simplificando o argumento:
portanto uma forma mais direta é
Passo 6
Verificação rápida (pra ficar seguro e treinar a intuição): calcular a transformada de
usando as propriedades:
- escreva
com . - note que
com . - então
e . - como
invertendo a relação da Passo 3, recupera-se exatamente
o que confirma que a expressão encontrada para
está consistente.