Um sinal x(t) possui transformada de Fourier \mathrm{X}(\omega). Determine a transformada inversa de Fourier y(t) em termos de x(t) para cada um dos sinais apresentados a seguir:
Y(\omega)=\frac{4}{3} e^{-\frac{j 2 \omega}{3}} X(-\omega / 3)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Nos é dado que um sinal x(t) tem transformada de Fourier \mathrm{X}(\omega).
  • O enunciado fornece a função no domínio da frequência
Y(\omega)=\frac{4}{3} e^{-\frac{j 2 \omega}{3}} X\!\bigl(-\tfrac{\omega}{3}\bigr).
  • A pergunta: determinar a transformada inversa de Fourier y(t) em termos de x(t). Ou seja, encontrar y(t) tal que y(t) tem transformada Y(\omega).

Passo 2

Convenção e propriedades que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Convenção de transformada de Fourier usada aqui (padrão mais comum):
\mathrm{X}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt, \qquad x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{X}(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Expliquei porque cada símbolo importa:
  • \mathrm{X}(\omega) é a transformada de x(t).
  • \omega é a frequência angular.
  • O fator 1/(2\pi) aparece na inversa nessa convenção.
Propriedades que usaremos (cada uma com interpretação prática):
  1. Escala no tempo (time‑scaling):
\text{Se } x(t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\mathrm{X}(\omega), \text{ então } x(a t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\frac{1}{|a|}\,\mathrm{X}\!\Bigl(\frac{\omega}{a}\Bigr).ã
Interpretação: comprimir o sinal no tempo (|a|>1) amplia sua versão em frequência e vem um fator 1/|a|.
  1. Reversão temporal (time reversal):
\text{Se } x(t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\mathrm{X}(\omega), \text{ então } x(-t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\mathrm{X}(-\omega).ã
Interpretação: inverter o tempo inverte o sinal de frequência.
  1. Deslocamento no tempo (time shift):
\text{Se } g(t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}G(\omega), \text{ então } g(t-t_0)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}e^{-j\omega t_0}G(\omega).ã
Interpretação: multiplicar a transformada por e^{-j\omega t_0} corresponde a deslocar o sinal no tempo em t_0.
  1. Linearidade: constantes multiplicativas saem no tempo (se G(\omega) é transformada de g(t), então c\,G(\omega) corresponde a c\,g(t)).
Vou usar essas propriedades para reconhecer Y(\omega) como a transformada de algum sinal construído a partir de x(t).

Passo 3

Aplicar a propriedade de escala para tratar o termo X\!\bigl(-\tfrac{\omega}{3}\bigr).
Considere g(t)=x(-3t). Usando a propriedade de escala com a=-3 (aqui a inclui a reversão de tempo porque é negativo):
g(t)=x(-3t)\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\frac{1}{|{-3}|}\,\mathrm{X}\!\Bigl(\frac{\omega}{-3}\Bigr) = \frac{1}{3}\,\mathrm{X}\!\Bigl(-\tfrac{\omega}{3}\Bigr).
Dessa relação isolamos
\mathrm{X}\!\Bigl(-\tfrac{\omega}{3}\Bigr)=3\,G(\omega),
onde G(\omega) é a transformada de g(t)=x(-3t).
Obs.: escrevi tudo com calma: a presença do valor absoluto em 1/|a| fez aparecer 1/3, por isso multiplicamos por 3 para recuperar X(-\omega/3).

Passo 4

Substituir isso em Y(\omega) e interpretar o fator exponencial como deslocamento no tempo.
Partindo de
Y(\omega)=\frac{4}{3}\,e^{-\frac{j2\omega}{3}}\,\mathrm{X}\!\Bigl(-\tfrac{\omega}{3}\Bigr),
substituindo \mathrm{X}\!\bigl(-\tfrac{\omega}{3}\bigr)=3\,G(\omega) obtemos:
Y(\omega)=\frac{4}{3}\,e^{-\frac{j2\omega}{3}} \cdot 3\,G(\omega) =4\,e^{-\frac{j2\omega}{3}}\,G(\omega).
Agora use a propriedade de deslocamento no tempo: multiplicar G(\omega) por e^{-j\omega t_0} corresponde a deslocar g(t) para g(t-t_0). Aqui o fator exponencial é e^{-j\omega t_0} com
t_0=\tfrac{2}{3}.
Portanto a transformada e^{-j\frac{2\omega}{3}}G(\omega) corresponde ao sinal g(t-\tfrac{2}{3}).

Passo 5

Juntando linearidade e o que obtivemos:
  • G(\omega) é a transformada de g(t)=x(-3t).
  • e^{-j\frac{2\omega}{3}}G(\omega) é a transformada de g\!\bigl(t-\tfrac{2}{3}\bigr).
  • Multiplicar por 4 na frequência corresponde a multiplicar por 4 no tempo.
Logo Y(\omega)=4\,e^{-j\frac{2\omega}{3}}G(\omega) é a transformada de
y(t)=4\,g\!\Bigl(t-\tfrac{2}{3}\Bigr)=4\,x\bigl(-3\bigl(t-\tfrac{2}{3}\bigr)\bigr).
Simplificando o argumento:
-3\bigl(t-\tfrac{2}{3}\bigr)=-3t+2,
portanto uma forma mais direta é
y(t)=4\,x(2-3t).

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar seguro e treinar a intuição): calcular a transformada de y(t)=4\,x(2-3t) usando as propriedades:
  • escreva y(t)=4\,h(t) com h(t)=x(2-3t).
  • note que h(t)=x\bigl(-3\bigl(t-\tfrac{2}{3}\bigr)\bigr)=g(t-\tfrac{2}{3}) com g(t)=x(-3t).
  • então \mathrm{H}(\omega)=e^{-j\omega\frac{2}{3}}G(\omega) e \mathrm{Y}(\omega)=4\mathrm{H}(\omega)=4e^{-j\frac{2\omega}{3}}G(\omega).
  • como G(\omega)=\tfrac{1}{3}\mathrm{X}\!\bigl(-\tfrac{\omega}{3}\bigr) invertendo a relação da Passo 3, recupera-se exatamente
\mathrm{Y}(\omega)=\frac{4}{3}e^{-\frac{j2\omega}{3}}\mathrm{X}\!\Bigl(-\tfrac{\omega}{3}\Bigr),
o que confirma que a expressão encontrada para y(t) está consistente.

Resposta

y(t)=4\,x(2-3t)

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