, demonstre a construção passo a passo que nos conduz à célebre expressão macroscópica da potência total gasta em um condutor ôhmico retilíneo,
.
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade de potência local
e pede para construir, passo a passo, a expressão macroscópica da potência total dissipada por um condutor ôhmico retilíneo:
.
Informações e hipóteses relevantes (todas necessárias para a construção):
-
é a densidade de corrente elétrica (unidade: ). -
é o campo elétrico (unidade: ). -
é a corrente total que atravessa a seção do condutor (unidade: ). -
é a resistência elétrica do condutor (unidade: ). - O condutor é retilíneo, homogêneo e de seção transversal constante
e comprimento . - Trabalho em regime estacionário (corrente contínua), material ôhmico linear com condutividade
(unidade: ) ou resistividade (unidade: ). - Lei local de Ohm (para o material):
(ou equivalentemente ).
O objetivo será partir de
, integrar sobre o volume do condutor e usar as relações acima para obter
.
Passo 2
Interpretação física e unidades de
.
-
é a potência por unidade de volume (densidade de potência), isto é a taxa de energia por segundo entregue ao meio por unidade de volume. Unidade: . - Produto escalar
significa que somente a componente de na direção da corrente contribui para dissipação (em um condutor retilíneo e uniforme os vetores são paralelos, então ). - Verificação de unidade (rápida):
em , em , então tem unidade . OK.
Passo 3
Passagem da densidade de potência para a potência total: integração sobre o volume do condutor.
A potência total dissipada
é a integral de
sobre o volume
do condutor:
Para o condutor retilíneo e homogêneo,
e
são uniformes em cada seção transversal (assunção de seção constante e material homogêneo). Assim podemos simplificar a integral como produto da densidade por volume:
onde
é a área da seção transversal e
é o comprimento do condutor.
Passo 4
Usando a definição de corrente e a relação local de Ohm para escrever
e
em termos macroscópicos.
- A corrente total
atravessando a seção é relacionada à densidade por
Com
uniforme e perpendicular à seção, isso vira
- Se o campo
for praticamente uniforme ao longo do condutor, a diferença de potencial entre as extremidades é
Substituindo
e
em
(resultado do passo anterior):
Agora simplifica-se porque
e
cancelam:
Comentário: essa é uma forma muito útil e direta: potência fornecida pela fonte é corrente vezes tensão. Ainda precisamos expressar
em termos de
e
para chegar à forma desejada.
Passo 5
Relação macroscópica entre
,
e
(expressão da resistência a partir da resistividade).
Da lei local de Ohm
(ou
), integramos ao longo do comprimento para obter a queda de potencial:
Com
e
uniformes:
Substituindo
:
Definimos a resistência do condutor como
Observação equivalente usando
: como
temos
.
Portanto vale a lei macroscópica de Ohm:
Passo 6
Combinação final para obter
.
Já estabelecemos em
Passo 4 que
e em
Passo 5 que
Substituindo,
Alternativamente, usando a via via da condutividade como verificação: a partir de
temos
. Para
uniforme,
Como
e
, então
. Substituindo,
o que reproduz consistentemente o mesmo resultado.
Passo 7
Resumo intuitivo e checagem de unidades / formas equivalentes.
- Interpretação: a potência dissipada cresce com o quadrado da corrente e é proporcional à resistência; isso aparece naturalmente porque a dissipação local é
e a resistência converte corrente em diferença de potencial. - Formas equivalentes (úteis em problemas): além de
tem-se também e, usando ,
- Checagem de unidades para
: tem unidade , tem , então tem , coerente.
Força final de incentivo: essa derivação é só juntar três ideias simples — densidade de potência, conservação (integrar sobre volume) e a lei de Ohm local/maciça — e tudo se encaixa. Você já tem a estrada inteira para usar na prova!