(p=\vec{J} \cdot \vec{E}), demonstre a construção passo a passo que nos conduz à célebre expressão macroscópica da potência total gasta em um condutor ôhmico retilíneo, P=i^{2} R.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de potência local
p = \vec{J}\cdot\vec{E}
e pede para construir, passo a passo, a expressão macroscópica da potência total dissipada por um condutor ôhmico retilíneo: P=i^{2}R.
Informações e hipóteses relevantes (todas necessárias para a construção):
  • \vec{J} é a densidade de corrente elétrica (unidade: \mathrm{A/m^{2}}).
  • \vec{E} é o campo elétrico (unidade: \mathrm{V/m}).
  • i é a corrente total que atravessa a seção do condutor (unidade: \mathrm{A}).
  • R é a resistência elétrica do condutor (unidade: \Omega).
  • O condutor é retilíneo, homogêneo e de seção transversal constante A e comprimento L.
  • Trabalho em regime estacionário (corrente contínua), material ôhmico linear com condutividade \sigma (unidade: \mathrm{S/m}) ou resistividade \rho=1/\sigma (unidade: \Omega\cdot\mathrm{m}).
  • Lei local de Ohm (para o material): \vec{J}=\sigma\vec{E} (ou equivalentemente \vec{E}=\rho\vec{J}).
O objetivo será partir de p=\vec{J}\cdot\vec{E}, integrar sobre o volume do condutor e usar as relações acima para obter P=i^{2}R.

Passo 2

Interpretação física e unidades de p=\vec{J}\cdot\vec{E}.
  • p é a potência por unidade de volume (densidade de potência), isto é a taxa de energia por segundo entregue ao meio por unidade de volume. Unidade: \mathrm{W/m^{3}}.
  • Produto escalar \vec{J}\cdot\vec{E} significa que somente a componente de \vec{E} na direção da corrente contribui para dissipação (em um condutor retilíneo e uniforme os vetores são paralelos, então \vec{J}\cdot\vec{E}=J E).
  • Verificação de unidade (rápida): J em \mathrm{A/m^{2}}, E em \mathrm{V/m}, então J E tem unidade \mathrm{A\cdot V/m^{3}}=\mathrm{W/m^{3}}. OK.

Passo 3

Passagem da densidade de potência para a potência total: integração sobre o volume do condutor.
A potência total dissipada P é a integral de p sobre o volume V_{\text{cond}} do condutor:
P=\int_{V_{\text{cond}}} p\,dV = \int_{V_{\text{cond}}} \vec{J}\cdot\vec{E}\,dV.
Para o condutor retilíneo e homogêneo, \vec{J} e \vec{E} são uniformes em cada seção transversal (assunção de seção constante e material homogêneo). Assim podemos simplificar a integral como produto da densidade por volume:
P = (\vec{J}\cdot\vec{E})\cdot V_{\text{cond}} = J E \cdot (A L),
onde A é a área da seção transversal e L é o comprimento do condutor.

Passo 4

Usando a definição de corrente e a relação local de Ohm para escrever J e E em termos macroscópicos.
  • A corrente total i atravessando a seção é relacionada à densidade por
i=\int_{A} \vec{J}\cdot d\vec{A}.
Com \vec{J} uniforme e perpendicular à seção, isso vira
i=J A \quad\Rightarrow\quad J=\frac{i}{A}.
  • Se o campo \vec{E} for praticamente uniforme ao longo do condutor, a diferença de potencial entre as extremidades é
V=\int_{0}^{L} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = E L \quad\Rightarrow\quad E=\frac{V}{L}.
Substituindo J e E em P=J E A L (resultado do passo anterior):
P=\left(\frac{i}{A}\right)\left(\frac{V}{L}\right)A L.
Agora simplifica-se porque A e L cancelam:
P=iV.
Comentário: essa é uma forma muito útil e direta: potência fornecida pela fonte é corrente vezes tensão. Ainda precisamos expressar V em termos de i e R para chegar à forma desejada.

Passo 5

Relação macroscópica entre V, i e R (expressão da resistência a partir da resistividade).
Da lei local de Ohm \vec{E}=\rho\vec{J} (ou \vec{J}=\sigma\vec{E}), integramos ao longo do comprimento para obter a queda de potencial:
V=\int_{0}^{L} E\,dl = \int_{0}^{L} \rho J\,dl.
Com \rho e J uniformes:
V=\rho J L.
Substituindo J=i/A:
V=\rho\frac{i}{A}L = i\left(\frac{\rho L}{A}\right).
Definimos a resistência do condutor como
R=\frac{\rho L}{A}.
Observação equivalente usando \sigma: como \rho=1/\sigma temos R=L/(\sigma A).
Portanto vale a lei macroscópica de Ohm:
V = i R.

Passo 6

Combinação final para obter P=i^{2}R.
Já estabelecemos em \#Passo 4 que
P=iV,
e em \#Passo 5 que
V=iR.
Substituindo,
P=i\cdot(iR)=i^{2}R.
Alternativamente, usando a via via da condutividade como verificação: a partir de \vec{J}=\sigma\vec{E} temos P=\int \sigma E^{2} dV. Para E uniforme,
P=\sigma E^{2} A L.
Como J=\sigma E e J=i/A, então E=\dfrac{i}{\sigma A}. Substituindo,
P=\sigma \left(\frac{i}{\sigma A}\right)^{2} A L = i^{2}\,\frac{L}{\sigma A} = i^{2}\left(\frac{\rho L}{A}\right) = i^{2}R,
o que reproduz consistentemente o mesmo resultado.

Passo 7

Resumo intuitivo e checagem de unidades / formas equivalentes.
  • Interpretação: a potência dissipada cresce com o quadrado da corrente e é proporcional à resistência; isso aparece naturalmente porque a dissipação local é J E e a resistência converte corrente em diferença de potencial.
  • Formas equivalentes (úteis em problemas): além de P=i^{2}R tem-se também P=iV e, usando V=iR,
P=iV=\frac{V^{2}}{R}=i^{2}R.
  • Checagem de unidades para i^{2}R: i^{2} tem unidade \mathrm{A^{2}}, R tem \Omega=\mathrm{V/A}, então i^{2}R tem \mathrm{A^{2}\cdot V/A}=\mathrm{A\cdot V}=\mathrm{W}, coerente.
Força final de incentivo: essa derivação é só juntar três ideias simples — densidade de potência, conservação (integrar sobre volume) e a lei de Ohm local/maciça — e tudo se encaixa. Você já tem a estrada inteira para usar na prova!

Resposta

P=i^{2}R

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