Se p(x)=(x-3)^{2}(x+2)^{2}(x-1)^{2} é o polinômio característico de um operador linear T: V \rightarrow V, determinar a matriz [T]_{\alpha}^{\alpha}, sendo \alpha uma base formada por autovetores de T. Qual o polinômio minimal de T ?

Passo 1

O enunciado informa que o polinômio característico de T é
p(x)=(x-3)^{2}(x+2)^{2}(x-1)^{2}
e que \alpha é uma base formada por autovetores de T. O conteúdo aqui é representação matricial de operadores diagonalizáveis e cálculo do polinômio minimal.

Passo 2

Como \alpha é base de autovetores, T é diagonalizável e sua matriz em \alpha é diagonal, cujas entradas são os autovalores repetidos segundo suas multiplicidades algébricas. Os autovalores são 3, -2 e 1, cada um de multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Logo,
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\mathrm{diag}\bigl(\underbrace{3,3}_{2},\;\underbrace{-2,-2}_{2},\;\underbrace{1,1}_{2}\bigr).

Passo 4

O polinômio minimal de um operador diagonalizável é o produto dos fatores lineares distintos que aparecem no polinômio característico. Assim,
m(x)=(x-3)(x+2)(x-1).

Resposta

A matriz de T na base \alpha é
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\mathrm{diag}(3,3,-2,-2,1,1),
e o polinômio minimal é
m(x)=(x-3)(x+2)(x-1).

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