Para que valores da constante a as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
B=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\\\ 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de a a matriz
B = \begin{pmatrix}1 & a \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes de ordem 2: vamos precisar achar o polinômio característico, ver a multiplicidade algébrica do autovalor e comparar com a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio).]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de B:
\chi_B(\lambda) = \det\bigl(B - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & a \\[4pt] 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Agora encontramos o espaço próprio associado a \lambda=1, isto é, o núcleo de B - I:
B - I = \begin{pmatrix}0 & a \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Resolvendo \bigl(B - I\bigr)v = 0, para v=(x,y)^T, obtemos
0\cdot x + a\,y = 0, \quad 0\cdot x + 0\cdot y = 0 \;\Longrightarrow\; a\,y = 0.
  • Se a\neq0, então y=0 e x fica livre, dando dimensão do espaço próprio igual a 1.
  • Se a=0, então B-I é a matriz zero e o espaço próprio tem dimensão 2.]

Passo 4

Uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) coincide com a multiplicidade algébrica. Aqui a multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 2, logo precisamos de dimensão do espaço próprio igual a 2, o que ocorre somente quando a=0.

Resposta

A matriz B é diagonalizável apenas para a=0.

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