Para que valores da constante a as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede determinar para quais valores de a a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{pmatrix}
é diagonalizável. Lembrando que uma matriz de ordem 2 é diagonalizável se existir base de \mathbb{R}^2 (ou \mathbb{C}^2) formada por autovetores, o que acontece sempre que os autovalores são distintos ou, no caso de valor duplo, se a multiplicidade geométrica for 2.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[0.3em]0 & a-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(a-\lambda).
Os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=a.]

Passo 3

Se a\neq1, então \lambda_1\neq\lambda_2 e a matriz terá dois autovetores linearmente independentes, garantindo a diagonalização.

Passo 4

Se a=1, o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. Nesse caso
A-I=\begin{pmatrix}0 & 1\\[0.3em]0 & 0\end{pmatrix}
e a equação (A-I)v=0 para v=(x,y) impõe y=0, dando espaço próprio de dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica é menor que 2, não há base de autovetores suficiente e A não é diagonalizável.]

Resposta

A matriz A é diagonalizável se, e somente se, a \neq 1.

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