(P1 2014.1) Um projétil é lançado do solo com uma velocidade que faz um angulo \theta_{0} com a horizontal ( 0<\theta_{0}<\pi / 2 ). Ignorando efeitos de resistência do ar e considerando o intervalo de tempo decorrido entre o instante do lançamento e o instante em que o projétil volta a altura em que foi lançado, pode-se afirmar que o ângulo entre o vetor velocidade média e o vetor aceleração média é:
(a) \theta_{0} / 2
(b) \pi / 2
(c) \theta_{0}
(d) \pi+\theta_{0} / 2

Passo 1

O enunciado diz que um projétil sai do solo com velocidade inicial de módulo v_0 e ângulo \theta_{0} acima da horizontal. Ignoramos resistência do ar e consideramos o intervalo de tempo entre t=0 (lançamento) e t=T (quando volta à mesma altura). Queremos o ângulo entre o vetor velocidade média \mathbf{v}_{\rm m} e o vetor aceleração média \mathbf{a}_{\rm m}. Vamos usar cinemática vetorial no movimento uniforme nas componentes horizontais e acelerado na vertical.

Passo 2

A velocidade média é definida por
\mathbf{v}_{\rm m} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{T}.
No lançamento a posição é (0,0) e ao retornar é (R,0), onde R é o alcance horizontal. Logo
\Delta \mathbf{r} = (R,0)
e
\mathbf{v}_{\rm m} = \bigl(\tfrac{R}{T},\,0\bigr),
ou seja, \mathbf{v}_{\rm m} aponta horizontalmente para a direita.

Passo 3

A aceleração média é
\mathbf{a}_{\rm m} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{T}.
A velocidade inicial é \mathbf{v}_i = (v_0\cos\theta_{0},\,v_0\sin\theta_{0}) e a final, ao retornar, é \mathbf{v}_f = (v_0\cos\theta_{0},\,-v_0\sin\theta_{0}). Assim
\Delta \mathbf{v} = \mathbf{v}_f - \mathbf{v}_i = \bigl(0,\,-2\,v_0\sin\theta_{0}\bigr)
e
\mathbf{a}_{\rm m} = \bigl(0,\,-\tfrac{2\,v_0\sin\theta_{0}}{T}\bigr),
isto é, aponta verticalmente para baixo.

Passo 4

Temos \mathbf{v}_{\rm m} na direção horizontal e \mathbf{a}_{\rm m} na direção vertical (para baixo). O ângulo entre um vetor horizontal e um vetor vertical é exatamente \pi/2.

Resposta

\pi/2 (alternativa (b))

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