P1.3 Um fluido escoa por um tubo cilíndrico, de comprimento
e raio
. Uma diferença de pressão
(força por unidade de área) produz um fluxo
(volume por segundo) para escoar através do tubo. Suponha que
seja proporcional a
e depende, por outro lado, somente de
, do raio
do tubo e da viscosidade
, já definido no problema anterior. Mostre, usando Análise Dimensional, que
deve ser também proporcional a
e a
e inversamente proporcional a
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que num tubo cilíndrico (comprimento
, raio
) rola um escoamento de fluido, e a diferença de pressão
gerada é proporcional a
e “só” depende de quatro coisas: o fluxo volumétrico
, o raio
, a viscosidade
e, claro,
. A ideia é usar Análise Dimensional (a matéria aqui) pra descobrir como combinar essas grandezas e mostrar que
Pra isso a gente vai precisar:
• Entender as dimensões (M, L, T) de cada grandeza.
• Postular uma forma geral com expoentes desconhecidos.
• Montar e resolver as equações de equilíbrio dimensional.
Passo 2
Anotando as dimensões de cada coisa (entre colchetes):
• (pressão) tem dimensão de força por área, ou seja
•
• Viscosidade dinâmica
:
• Fluxo volumétrico
(volume por tempo):
• Raio
:
• Comprimento
:
Passo 3
Agora a gente supõe que
onde
é uma constante adimensional e
são expoentes que a gente vai descobrir exigindo que as dimensões “batam” dos dois lados.
Passo 4
Escrevendo as dimensões de cada fator:
Igualando expoentes em cada dimensão:
- M:
- T:
- L:
Passo 5
Da equação de M já sai
.
Da de T:
Da de T:
Na de L:
Mas o enunciado já disse que
é proporcional a
, ou seja
.
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Resposta
Juntando tudo, a gente encontra