P1.3 Um fluido escoa por um tubo cilíndrico, de comprimento l e raio a. Uma diferença de pressão De (força por unidade de área) produz um fluxo Phi (volume por segundo) para escoar através do tubo. Suponha que De seja proporcional a l e depende, por outro lado, somente de Phi, do raio a do tubo e da viscosidade eta, já definido no problema anterior. Mostre, usando Análise Dimensional, que De deve ser também proporcional a eta e a Phi e inversamente proporcional a a^4.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que num tubo cilíndrico (comprimento l, raio a) rola um escoamento de fluido, e a diferença de pressão De gerada é proporcional a l e “só” depende de quatro coisas: o fluxo volumétrico Phi, o raio a, a viscosidade eta e, claro, l. A ideia é usar Análise Dimensional (a matéria aqui) pra descobrir como combinar essas grandezas e mostrar que
De
Pra isso a gente vai precisar:
• Entender as dimensões (M, L, T) de cada grandeza.
• Postular uma forma geral com expoentes desconhecidos.
• Montar e resolver as equações de equilíbrio dimensional.

Passo 2

Anotando as dimensões de cada coisa (entre colchetes):
De (pressão) tem dimensão de força por área, ou seja
[DeçÁ
• Viscosidade dinâmica eta:
[eta]=M,L^-1,T^-1
• Fluxo volumétrico Phi (volume por tempo):
[Phi]=L^3T=L^3,T^-1
• Raio a:
[a]=L
• Comprimento l:
[l]=L

Passo 3

Agora a gente supõe que
De
onde k é uma constante adimensional e alpha,beta,gamma,de são expoentes que a gente vai descobrir exigindo que as dimensões “batam” dos dois lados.

Passo 4

Escrevendo as dimensões de cada fator:
[LHS] &= M^1,L^-1,T^-2, [RHS] &= l(M,L^-1,T^-1r)^alpha ;l(L^3,T^-1r)^beta ;(L)^gamma ;(L)^de
Igualando expoentes em cada dimensão:
  1. M:  1 = alpha
  2. T:  -2 = -alpha -beta
  3. L:  -1 = -alpha +3beta +gamma +de

Passo 5

Da equação de M já sai alpha=1.
Da de T:
-2 = -1 -beta Longrightarrow beta=1
Na de L:
-1 = -1 +3cdot1 +gamma +de
Mas o enunciado já disse que De é proporcional a l, ou seja de.
Logo
gamma = -3 - de

Resposta

Juntando tudo, a gente encontra
boxed De

Exercícios relacionados