*P10.48 O bloco de borracha é confinado no bloco rígido liso em forma de U. Se a borracha tiver módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson v, determine o módulo de elasticidade efetivo da borracha sob a condição confinada.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de borracha, com módulo de elasticidade \;E\; e coeficiente de Poisson \;v\;, confinado lateralmente por um bloco rígido em forma de \;U\;. Uma força vertical \;P\; comprime a borracha, e por causa do confinamento as deformações laterais são nulas.
O que nos pedem: determinar o “módulo de elasticidade efetivo” da borracha sob a condição confinada — isto é, a constante que relaciona a tensão axial e a deformação axial quando as deformações laterais são zero.
Informações relevantes dadas: \;E\;, \;v\;, confinamento rígido (portanto \;\varepsilon_x=\varepsilon_y=0\;), simetria lateral (as tensões laterais são iguais).

Passo 2

Vamos definir variáveis e a lei constitutiva que usaremos (Lei de Hooke na forma tridimensional para material isotrópico linear).
Definições:
  • \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z = tensões normais nas direções x,y,z (com z axial, direção da carga).
  • \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z = deformações normais correspondentes.
  • \;E\; = módulo de Young (elasticidade).
  • \;v\; = coeficiente de Poisson.
    A forma das equações de Hooke que relaciona tensões e deformações é (para cada componente):
\varepsilon_x = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_x - v(\sigma_y+\sigma_z)\bigr)
\varepsilon_y = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_y - v(\sigma_x+\sigma_z)\bigr)
\varepsilon_z = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_z - v(\sigma_x+\sigma_y)\bigr)
Expliquei: cada deformação é influenciada pela sua tensão direta e pelas tensões nos outros dois eixos via Poisson.

Passo 3

Usamos as condições do problema: confinamento lateral significa que as deformações laterais são nulas:
\varepsilon_x = 0,\qquad \varepsilon_y = 0.
Pela simetria do problema (o bloco está preso igualmente dos dois lados), as tensões laterais são iguais:
\sigma_x = \sigma_y \equiv S.
Agora escrevemos a equação para \varepsilon_x=0 usando a fórmula de Hooke:
0 = \frac{1}{E}\bigl(S - v(S + \sigma_z)\bigr).
Multiplicando por \;E\; e rearranjando:
S - vS - v\sigma_z = 0
S(1 - v) = v\sigma_z
Portanto:
S = \frac{v}{1 - v}\,\sigma_z.

Passo 4

Agora encontramos \varepsilon_z em função de \sigma_z. Use a terceira equação de Hooke:
\varepsilon_z = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_z - v(\sigma_x+\sigma_y)\bigr).
Substituindo \sigma_x=\sigma_y=S e o valor de S encontrado:
\varepsilon_z = \frac{1}{E}\Bigl(\sigma_z - v\bigl(2S\bigr)\Bigr) = \frac{1}{E}\Bigl(\sigma_z - 2v\cdot\frac{v}{1 - v}\,\sigma_z\Bigr).
Colocando \sigma_z em evidência:
\varepsilon_z = \frac{\sigma_z}{E}\Bigl(1 - \frac{2v^2}{1 - v}\Bigr).
Colocamos numa única fração:
1 - \frac{2v^2}{1 - v} = \frac{1 - v - 2v^2}{1 - v}.
Observação algébrica útil (futura simplificação):
1 - v - 2v^2 = (1 - 2v)(1 + v).
Então
\varepsilon_z = \frac{\sigma_z}{E}\cdot\frac{(1 - 2v)(1 + v)}{1 - v}.

Passo 5

O módulo de elasticidade efetivo \;E_{\text{ef}}\; sob condição confinada é a relação entre tensão axial e deformação axial quando \varepsilon_x=\varepsilon_y=0; ou seja:
E_{\text{ef}}=\frac{\sigma_z}{\varepsilon_z}.
Invertemos a expressão de \varepsilon_z obtida no passo anterior:
E_{\text{ef}} = \frac{\sigma_z}{\dfrac{\sigma_z}{E}\cdot\dfrac{(1 - 2v)(1 + v)}{1 - v}}.
As \sigma_z se cancelam, resultando
E_{\text{ef}} = E\cdot\frac{1 - v}{(1 - 2v)(1 + v)}.
Podemos reescrever de forma equivalente, mais comum em alguns textos, como
E_{\text{ef}} = E\frac{1 - v}{(1 + v)(1 - 2v)}.

Passo 6

Verificação física rápida e interpretação:
  • Se \;v=0\; (material sem efeito de Poisson), \;E_{\text{ef}}=E\; (faz sentido).
  • Se \;v\to\frac12\; (material praticamente incompressível, como borracha ideal), o denominador (1-2v)\to 0 e \;E_{\text{ef}}\to\infty\;: sob confinamento, a amostra fica muito rígida ao carregamento axial porque não pode deformar lateralmente — isso é consistente fisicamente.
    Parabéns, agora você tem a expressão e a intuição do porquê a borracha fica “muito mais rígida” quando confinada.

Resposta

E_{\text{ef}} = E\frac{1 - v}{(1 + v)(1 - 2v)}

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