*P10.48 O bloco de borracha é confinado no bloco rígido liso em forma de
. Se a borracha tiver módulo de elasticidade
e coeficiente de Poisson
, determine o módulo de elasticidade efetivo da borracha sob a condição confinada.
Passo 1
O enunciado dá um bloco de borracha, com módulo de elasticidade
e coeficiente de Poisson
, confinado lateralmente por um bloco rígido em forma de
. Uma força vertical
comprime a borracha, e por causa do confinamento as deformações laterais são nulas.
O que nos pedem: determinar o “módulo de elasticidade efetivo” da borracha sob a condição confinada — isto é, a constante que relaciona a tensão axial e a deformação axial quando as deformações laterais são zero.
Informações relevantes dadas: ,
, confinamento rígido (portanto
), simetria lateral (as tensões laterais são iguais).
O que nos pedem: determinar o “módulo de elasticidade efetivo” da borracha sob a condição confinada — isto é, a constante que relaciona a tensão axial e a deformação axial quando as deformações laterais são zero.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos definir variáveis e a lei constitutiva que usaremos (Lei de Hooke na forma tridimensional para material isotrópico linear).
Definições:
Definições:
-
= tensões normais nas direções (com axial, direção da carga). -
= deformações normais correspondentes. -
= módulo de Young (elasticidade). -
= coeficiente de Poisson.
A forma das equações de Hooke que relaciona tensões e deformações é (para cada componente):
Expliquei: cada deformação é influenciada pela sua tensão direta e pelas tensões nos outros dois eixos via Poisson.
Passo 3
Usamos as condições do problema: confinamento lateral significa que as deformações laterais são nulas:
Pela simetria do problema (o bloco está preso igualmente dos dois lados), as tensões laterais são iguais:
Agora escrevemos a equação para
usando a fórmula de Hooke:
Multiplicando por
e rearranjando:
Portanto:
Passo 4
Agora encontramos
em função de
. Use a terceira equação de Hooke:
Substituindo
e o valor de
encontrado:
Colocando
em evidência:
Colocamos numa única fração:
Observação algébrica útil (futura simplificação):
Então
Passo 5
O módulo de elasticidade efetivo
sob condição confinada é a relação entre tensão axial e deformação axial quando
; ou seja:
Invertemos a expressão de
obtida no passo anterior:
As
se cancelam, resultando
Podemos reescrever de forma equivalente, mais comum em alguns textos, como
Passo 6
Verificação física rápida e interpretação:
- Se
(material sem efeito de Poisson), (faz sentido). - Se
(material praticamente incompressível, como borracha ideal), o denominador e : sob confinamento, a amostra fica muito rígida ao carregamento axial porque não pode deformar lateralmente — isso é consistente fisicamente.
Parabéns, agora você tem a expressão e a intuição do porquê a borracha fica “muito mais rígida” quando confinada.