P10.71 Uma chapa é feita de bronze rígido, que escoa a \sigma_{e}=735 \mathrm{MPa}. Fazendo uso da teoria de tensão de cisalhamento máxima, determine a tensão de tração \sigma_{x} que pode ser aplicada à chapa se também for aplicada uma tensão de tração \sigma_{y}=0,5 \sigma_{x}.

Passo 1

O enunciado dá uma chapa submetida a tensões normais no plano: uma tensão de tração \sigma_x na direção x e outra \sigma_y na direção y com a relação \sigma_y = 0,5\,\sigma_x. A chapa é de bronze rígido que escoa a \sigma_{e} = 735\\ \mathrm{MPa}. A pergunta é: determine a maior tensão de tração \sigma_x que pode ser aplicada se a teoria de tensão de cisalhamento máxima (critério de Tresca) for usada.
Informações relevantes do enunciado:
  • \sigma_{e} = 735\\ \mathrm{MPa}.
  • \sigma_{y} = 0,5\,\sigma_{x}.
  • Usar a teoria de tensão de cisalhamento máxima (Tresca).
    Não começamos a resolver ainda; só listamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Explicando a teoria de tensão de cisalhamento máxima (Tresca) de forma didática: esta teoria diz que o escoamento inicia quando a máxima tensão de cisalhamento no corpo atinge a metade da tensão de escoamento medida em um ensaio simples de tração. Em fórmulas:
\tau_{\max}=\tfrac{1}{2}\max\bigl(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\bigr),
onde \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 são as tensões principais (os valores de tensão normais em eixos principais). O limite de cisalhamento que provoca escoamento é
\tau_{\text{lim}}=\tfrac{1}{2}\sigma_{e},
porque num ensaio de tração uniaxial com \sigma_1=\sigma_e e \sigma_2=\sigma_3=0 a máxima tensão de cisalhamento é \tfrac{1}{2}\sigma_e. Portanto o critério de Tresca para escoamento é
\tau_{\max}=\tau_{\text{lim}} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{2}\max\bigl(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\bigr)=\tfrac{1}{2}\sigma_{e}.
Aqui: \sigma_{e} é a tensão de escoamento em tração fornecida pelo enunciado.

Passo 3

Identificar as tensões principais no problema (caso de estado plano de tensão, sem tensões fora do plano): como só há tensões normais \sigma_x e \sigma_y e nenhum cisalhamento aplicado, as tensões principais são simplesmente
\sigma_1=\sigma_x,\qquad \sigma_2=\sigma_y,\qquad \sigma_3=0.
E lembrando a relação dada no enunciado:
\sigma_2=\sigma_y=0,5\,\sigma_x.

Passo 4

Calcular as diferenças entre as tensões principais (vamos manter tudo algébrico antes de substituir números). As três diferenças são:
\sigma_1-\sigma_2=\sigma_x-0,5\,\sigma_x=0,5\,\sigma_x,
\sigma_1-\sigma_3=\sigma_x-0=\sigma_x,
\sigma_2-\sigma_3=0,5\,\sigma_x-0=0,5\,\sigma_x.
O máximo entre os valores absolutos das diferenças é \max(\,0,5\,\sigma_x,\;\sigma_x,\;0,5\,\sigma_x\,)=\sigma_x. Portanto, pela fórmula da máxima tensão de cisalhamento,
\tau_{\max}=\tfrac{1}{2}\sigma_x.

Passo 5

Aplicar o critério de Tresca (igualar \tau_{\max} ao limite \tau_{\text{lim}}):
\tfrac{1}{2}\sigma_x=\tfrac{1}{2}\sigma_{e}.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
\sigma_x=\sigma_{e}.
Substituindo \sigma_{e}=735\\ \mathrm{MPa}, temos
\sigma_x=735\\ \mathrm{MPa}.
Como verificação rápida: \sigma_y=0,5\,\sigma_x=0,5\times735=367,5\\ \mathrm{MPa} e \tau_{\max}=\tfrac{1}{2}\sigma_x=367,5\\ \mathrm{MPa}=\tfrac{1}{2}\sigma_{e}, consistente com o critério.

Resposta

\sigma_x=735\\ \mathrm{MPa}

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