*P10.80 Se um eixo de 50 mm de diâmetro for feito de ferro fundido com limite de resistência à tração e à compressão \left(\sigma_{\text {máx }}\right)_{t}=350 \mathrm{MPa}á e \left(\sigma_{\text {máx }}\right)_{c}=525 \mathrm{MPa}á, respectivamente, determine se o eixo falha de acordo com o critério da falha de Mohr.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se um eixo de diâmetro 50\\ \mathrm{mm} feito de ferro fundido falha segundo o critério de falha de Mohr.
Dados fornecidos:
d = 50\\ \mathrm{mm}
\left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t} = 350\\ \mathrm{MPa}á
\left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{c} = 525\\ \mathrm{MPa}á
Informação que NÃO foi dada (necessária para avaliar a falha):
  • As cargas aplicadas no eixo (por exemplo: torque T, momento fletor M, força axial P, ou uma combinação delas).
    Sem essas informações sobre as solicitações, não é possível calcular as tensões no eixo e, portanto, não é possível concluir se o eixo falha ou não.

Passo 2

O que é o critério de falha de Mohr (explicação didática, sem pular etapas).
  • O critério de Mohr para materiais frágeis (como ferro fundido) usa o círculo de Mohr dos estados planos de tensão e compara esse círculo com uma “curva de resistência” (envelope) caracterizada pelos limites de resistência à tração e à compressão.
  • Em termos práticos e simples: calcule os esforços normais principais \sigma_1 (maior) e \sigma_3 (menor). O círculo de Mohr tem centro
c = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}
e raio
R = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}.
  • O estado falha se o círculo de Mohr tocar ou ultrapassar a curva de resistência. Dois testes simples (muito usados para materiais frágeis) são equivalentes e fáceis de aplicar:
    1. Se a maior tensão principal satisfaz \sigma_1 \ge \left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t}á, então há falha por tração.
    2. Se a menor tensão principal satisfaz \sigma_3 \le -\left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{c}á, então há falha por compressão.
      Esses dois testes são suficientes porque a curva de resistência passa pelos pontos (\sigma,\tau)=(\left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t},0)á e (-\left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{c},0)á no eixo das tensões normais.

Passo 3

Como obter as tensões principais para um eixo (fórmulas e interpretação passo a passo).
  • Para um ponto na superfície do eixo, as tensões que normalmente aparecem são:
    • tensão normal por flexão: \sigma_b = \dfrac{M\,c}{I}, onde M é o momento fletor, c=\dfrac{d}{2} é a distância à fibra externa e I é o momento de inércia da seção circular.
    • tensão de cisalhamento por torção: \tau_t = \dfrac{T\,c}{J}, onde T é o torque e J é o momento polar de inércia da seção circular.
  • Para uma seção circular maciça:
I = \frac{\pi d^4}{64},\qquad J = \frac{\pi d^4}{32}.
  • Estado típico combinado (flexão + torção, sem tensão axial): as componentes em coordenadas do elemento são \sigma_x=\sigma_b, \sigma_y=0, \tau_{xy}=\tau_t. As tensões principais são:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
que, aqui, simplifica para
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_b}{2}\right)^2 + \tau_t^2}.
  • Então, para decidir falha pelo critério de Mohr, calcule \sigma_1 e \sigma_3 com as fórmulas acima e verifique:
\text{falha se}\quad \sigma_1 \ge \left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t}\quad\text{ou}\quad \sigma_3 \le -\left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{c}.áá

Passo 4

Exemplos de casos especiais (úteis para a prova) e como aplicar de forma direta (mostro as contas para você saber aplicar na hora):
Caso A — puro torção ( M=0, somente T):
  • Então \sigma_b=0 e \tau_t é a única tensão. As tensões principais são \sigma_{1}=\tau_t e \sigma_{3}=-\tau_t. Pelo critério de Mohr para material frágil, falha quando
\tau_t \ge \left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t}\quad\text{(falha por tração principal)}áçã
ou
\tau_t \ge \left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{c}\quad\text{(falha por compressão principal, raramente o limitante porque \(\sigma_c>\sigma_t\)).}áã
Assim, para ferro fundido com \left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t}=350\\ \mathrm{MPa}á, o limite de cisalhamento admissível (para não atingir a tensão principal de tração) é \tau_{\text{adm}}=350\\ \mathrm{MPa}. Se quiser converter isso em torque admissível T_{\text{adm}}:
T_{\text{adm}} = \tau_{\text{adm}}\frac{J}{c}.
Para d=50\\ \mathrm{mm}:
J = \frac{\pi d^4}{32} \approx 613\,592{,}3\\ \mathrm{mm^4},\qquad c=\frac{d}{2}=25\\ \mathrm{mm},
T_{\text{adm}} \approx 350\\ \mathrm{N/mm^2}\times\frac{613\,592{,}3\\ \mathrm{mm^4}}{25\\ \mathrm{mm}}\approx 8{,}59\times 10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}=8{,}59\times 10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
(Isto é um exemplo numérico mostrando como obter T_{\text{adm}} em caso de puro torção.)
Caso B — pura flexão ( T=0, somente M):
  • A tensão máxima à fibra externa é \sigma_b=\dfrac{M c}{I}. Falha por tração se
\sigma_b \ge \left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t}.á
O momento fletor admissível é
M_{\text{adm}} = \left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t}\frac{I}{c}.á
Com d=50\\ \mathrm{mm} e \left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t}=350\\ \mathrm{MPa}á,
I=\frac{\pi d^4}{64}\approx 306\,796{,}2\\ \mathrm{mm^4},\quad \frac{I}{c}\approx 12\,271{,}8\\ \mathrm{mm^3},
M_{\text{adm}}\approx 350\times 12\,271{,}8\\ \mathrm{N\cdot mm}\approx 4{,}29\times 10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}=4{,}29\times 10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Resumo prático do procedimento que você deve aplicar na prova (passo a passo, como se eu estivesse te dizendo o checklist):
  1. Identifique todas as cargas: P (axial), M (momento fletor), T (torque).
  2. Calcule as tensões na fibra externa: \sigma_b=\dfrac{M c}{I}, \tau_t=\dfrac{T c}{J}. Se houver força axial P, some \sigma_a = \dfrac{P}{A} com \sigma_b.
  3. Calcule as tensões principais usando
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
  1. Verifique as desigualdades de Mohr:
\text{falha se}\quad \sigma_1 \ge \left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{t}\quad\text{ou}\quad \sigma_3 \le -\left(\sigma_{\text{máx}}\right)_{c}.áá
  1. Se nenhuma das desigualdades for satisfeita, o eixo não falha segundo o critério de Mohr (para o nível de cargas considerado).

Passo 6

Por que não resolvi numericamente o problema com os dados que você deu:
  • Você forneceu apenas d e os limites últimos em tração/compressão. Para aplicar os passos acima e obter uma conclusão quantitativa, precisamos das cargas ( M, T, P, etc.). Sem essas cargas não há como calcular \sigma_b nem \tau_t, logo não há como obter \sigma_1 e \sigma_3. Inventar valores de carga seria arriscado e pode te induzir a erro na prova.
  • Se você me passar as cargas (ou a figura com carregamento), eu faço agora a resolução passo a passo com números e te mostro se o eixo falha ou não, seguindo exatamente o check-list do Passo 5.

Resposta

Não é possível determinar se o eixo falha pelo critério de Mohr porque faltam informações sobre as cargas aplicadas (momentos M, torque T, força axial P, ou diagrama de carregamento).

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