*P10.64 Desenvolva uma expressão para um momento fletor equivalente M_{e} que, se aplicado sozinho a uma barra sólida com uma seção transversal circular, causaria a mesma tensão de cisalhamento máxima como a combinação de um momento aplicado M e um torque T. Suponha que as tensões principais tenham sinais algébricos opostos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma expressão para um momento fletor equivalente \,M_{e}\, tal que, aplicado sozinho numa barra sólida de seção circular, provoque a mesma tensão de cisalhamento máxima que a combinação de um momento fletor \,M\, e um torque \,T\,. Informações e hipóteses dadas:
\begin{aligned} &\text{Barra: seção transversal circular, sólida.}\\\ &\text{Temos um momento fletor }M\text{ e um torque }T.\\\ &\text{Queremos }M_{e}\text{ tal que o estado de tensão por }M_{e}\text{ isolado}\\\ &\qquad\text{tenha a mesma tensão de cisalhamento máxima que o estado combinado }(M,T).\\\ &\text{Hipótese adicional: as tensões principais têm sinais algébricos opostos.} \end{aligned}çãóããáóõêé

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a flexão produz tensão normal na fibra mais externa da seção. A fórmula da tensão normal por flexão é
\sigma_b=\frac{M\,y}{I},
onde:
\begin{aligned} &\sigma_b \text{ é a tensão normal (positivo tração, negativo compressão),}\\\ &M \text{ é o momento fletor aplicado,}\\\ &y \text{ é a distância do ponto considerado ao centro neutro (na borda }y=c),\\\ &I \text{ é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão.} \end{aligned}éãçããééâééçãçãã
Para uma seção circular sólida de diâmetro d temos
I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
A tensão normal máxima por flexão (na fibra externa y=c=d/2) é
\sigma_{b,\max}=\frac{M\,c}{I}.

Passo 3

Agora a torção: a tensão de cisalhamento devido a um torque T em uma seção circular é dada por
\tau_t=\frac{T\,\rho}{J},
onde:
\begin{aligned} &\tau_t \text{ é a tensão de cisalhamento por torção no ponto a distância } \rho \text{ do centro},\\\ &J \text{ é o momento polar de inércia da seção.} \end{aligned}éãçãâééçã
Para uma seção circular sólida
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
A tensão de cisalhamento máxima por torção ocorre na borda \rho=c e vale
\tau_{t,\max}=\frac{T\,c}{J}.

Passo 4

Quando na borda coexistem uma tensão normal \sigma (da flexão) e uma tensão de cisalhamento \tau (da torção), o máximo valor da tensão de cisalhamento em plano (ou seja, o semieixo do círculo de Mohr) é dado por
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}+\tau^{2}}.
Aqui \sigma é a tensão normal no ponto considerado. Esta fórmula vem da análise de tensões em plano (Mohr) e dá a maior tensão de cisalhamento absoluta que aparece no material naquele ponto. Aplicando à combinação flexão+torção, na fibra externa:
\tau_{\max,\text{comb}}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{b,\max}}{2}\right)^{2}+\left(\tau_{t,\max}\right)^{2}} =\sqrt{\left(\frac{M\,c}{2I}\right)^{2}+\left(\frac{T\,c}{J}\right)^{2}}.

Passo 5

Para um momento de flexão isolado M_{e} (sem torção), a tensão de cisalhamento máxima resultante daquele estado uniaxial de tensão é simplesmente metade da tensão normal máxima:
\tau_{\max,\text{bend only}}=\frac{\sigma_{b,\max}(M_{e})}{2}=\frac{M_{e}\,c}{2I}.
Isto porque com apenas tensão normal \sigma e sem componentes de cisalhamento, a maior tensão de cisalhamento é |\sigma|/2.

Passo 6

Definimos M_{e} exigindo que a tensão de cisalhamento máxima do caso somente flexão seja igual à do caso combinado:
\frac{M_{e}\,c}{2I}=\sqrt{\left(\frac{M\,c}{2I}\right)^{2}+\left(\frac{T\,c}{J}\right)^{2}}.
Podemos simplificar cancelando o fator comum c (assumindo c\neq0) e isolando M_{e}:
M_{e}=2I\sqrt{\left(\frac{M}{2I}\right)^{2}+\left(\frac{T}{J}\right)^{2}}.
Essa já é uma expressão geral válida para qualquer seção circular (ou qualquer seção em que I e J sejam conhecidos).

Passo 7

Agora usamos a informação específica de seção circular sólida para simplificar ainda mais. Para seção circular sólida vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=2\left(\frac{\pi d^{4}}{64}\right)=2I,
ou seja \,J=2I. Substituindo \,J=2I na expressão de M_{e}:
\begin{aligned} M_{e} &=2I\sqrt{\left(\frac{M}{2I}\right)^{2}+\left(\frac{T}{2I}\right)^{2}}\\[6pt] &=2I\sqrt{\frac{M^{2}+T^{2}}{4I^{2}}}\\[6pt] &=2I\cdot\frac{1}{2I}\sqrt{M^{2}+T^{2}}\\[6pt] &=\sqrt{M^{2}+T^{2}}. \end{aligned}]

Passo 8

Conclusão e interpretação rápida: para uma barra sólida de seção circular, assumindo que as tensões principais resultantes têm sinais algébricos opostos (condição que garante a aplicação direta da fórmula de Mohr usada), o momento fletor equivalente que sozinho gera a mesma tensão de cisalhamento máxima que a combinação de M e T é simplesmente a raiz quadrada da soma dos quadrados de M e T:
M_{e}=\sqrt{M^{2}+T^{2}}.

Resposta

\,M_{e}=\sqrt{M^{2}+T^{2}}\,

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