*P10.64 Desenvolva uma expressão para um momento fletor equivalente
que, se aplicado sozinho a uma barra sólida com uma seção transversal circular, causaria a mesma tensão de cisalhamento máxima como a combinação de um momento aplicado
e um torque
. Suponha que as tensões principais tenham sinais algébricos opostos.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma expressão para um momento fletor equivalente
tal que, aplicado sozinho numa barra sólida de seção circular, provoque a mesma tensão de cisalhamento máxima que a combinação de um momento fletor
e um torque
. Informações e hipóteses dadas:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a flexão produz tensão normal na fibra mais externa da seção. A fórmula da tensão normal por flexão é
onde:
Para uma seção circular sólida de diâmetro
temos
A tensão normal máxima por flexão (na fibra externa
) é
Passo 3
Agora a torção: a tensão de cisalhamento devido a um torque
em uma seção circular é dada por
onde:
Para uma seção circular sólida
A tensão de cisalhamento máxima por torção ocorre na borda
e vale
Passo 4
Quando na borda coexistem uma tensão normal
(da flexão) e uma tensão de cisalhamento
(da torção), o máximo valor da tensão de cisalhamento em plano (ou seja, o semieixo do círculo de Mohr) é dado por
Aqui
é a tensão normal no ponto considerado. Esta fórmula vem da análise de tensões em plano (Mohr) e dá a maior tensão de cisalhamento absoluta que aparece no material naquele ponto. Aplicando à combinação flexão+torção, na fibra externa:
Passo 5
Para um momento de flexão isolado
(sem torção), a tensão de cisalhamento máxima resultante daquele estado uniaxial de tensão é simplesmente metade da tensão normal máxima:
Isto porque com apenas tensão normal
e sem componentes de cisalhamento, a maior tensão de cisalhamento é
.
Passo 6
Definimos
exigindo que a tensão de cisalhamento máxima do caso somente flexão seja igual à do caso combinado:
Podemos simplificar cancelando o fator comum
(assumindo
) e isolando
:
Essa já é uma expressão geral válida para qualquer seção circular (ou qualquer seção em que
e
sejam conhecidos).
Passo 7
Agora usamos a informação específica de seção circular sólida para simplificar ainda mais. Para seção circular sólida vale
ou seja
. Substituindo
na expressão de
:
Passo 8
Conclusão e interpretação rápida: para uma barra sólida de seção circular, assumindo que as tensões principais resultantes têm sinais algébricos opostos (condição que garante a aplicação direta da fórmula de Mohr usada), o momento fletor equivalente que sozinho gera a mesma tensão de cisalhamento máxima que a combinação de
e
é simplesmente a raiz quadrada da soma dos quadrados de
e
: