P11.17 Se a viga de aba larga W 360 \times 45 tiver tensão normal admissível \sigma_{\text {adm }}=150 \mathrm{MPa} e tensão de cisathamento admissível \tau_{\text {adm }}=85 \mathrm{MPa}, determine a força máxima do cabo \mathbf{P} que pode ser suportada com segurança pela viga.

Passo 1

O enunciado fornece estas informações claras:
  • A viga é do tipo “aba larga” identificada como W\;360\times45.
  • Tensão normal admissível \sigma_{\text{adm}}=150\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensão de cisalhamento admissível \tau_{\text{adm}}=85\\ \mathrm{MPa}.
    A pergunta: determinar a força máxima do cabo \mathbf{P} que a viga pode suportar com segurança.
Informação importante que falta no enunciado enviado (por isso não dá para calcular um número final):
  • A figura que mostra como a força \mathbf{P} age: se é axial (pela linha de centro), se é transversal (produz força cortante V), se tem excentricidade (produz momento M=P\cdot e), onde está a seção crítica para avaliação (na extremidade, no apoio, em uma seção interna a distância a, etc.).
  • As propriedades geométricas numéricas da seção W\;360\times45 necessárias: área A, momento de inércia I em relação ao eixo neutro, espessura da alma t_w, largura da aba b_f, espessura da aba t_f. (Esses valores constam em tabelas de perfis; não vou inventá-los.)
Portanto, com os dados que você me deu não é possível obter um valor numérico para \mathbf{P}. Nos passos seguintes eu explico passo a passo o que se faria assim que tivermos a figura e/ou as propriedades da seção — e ensino a teoria necessária para que você consiga resolver na prova.

Passo 2

Conceito geral de segurança que vamos usar (intuição antes das fórmulas): a viga estiverá segura se, na seção crítica, todas as tensões solicitantes não ultrapassarem as admissíveis. Normalmente devemos controlar:
  • Tensão normal (devida a esforço axial e a flexão): \sigma=\sigma_{\text{axial}}+\sigma_{\text{flexão}}ã.
  • Tensão de cisalhamento (devida à força cortante): \tau.
As condições de segurança típicas (para um problema de projeto simples) são:
|\sigma|\le \sigma_{\text{adm}}, \qquad |\tau|\le \tau_{\text{adm}}.
Vou agora explicar como calcular \sigma_{\text{axial}}, \sigma_{\text{flexão}}ã e \tau em termos de \mathbf{P} e das propriedades geométricas.

Passo 3

Tensão axial: fórmula e interpretação.
  • Se \mathbf{P} tem componente axial P_a pela seção, a tensão média axial é
\sigma_{\text{axial}}=\frac{P_a}{A},
onde \;A\; é a área da seção transversal (unidades: \mathrm{mm}^2 se P em N; como \mathrm{MPa}= \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2, usar consistência de unidades).
  • Interpretação: força axial uniformemente distribuída sobre a área.

Passo 4

Tensão de flexão (bending): fórmula e interpretação.
  • Se a força está excêntrica em relação ao centroide, ela produz um momento fletor M. Para uma situação comum onde M=P\cdot e (excentricidade e), a tensão de flexão na fibra a uma distância y do eixo neutro é
\sigma_{\text{flexão}}=\frac{M\,y}{I},ã
onde \;I\; é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro e \;y\; é a distância da fibra ao eixo neutro.
  • Para avaliar o pico na fibra extrema usamos o módulo de seção S=\dfrac{I}{y_{\max}} e escrevemos, na fibra mais solicitada,
\sigma_{\text{flexão}}=\frac{M}{S}.ã
  • Observação prática: se o sentido do momento soma à tensão axial numa fibra (por exemplo tração + tração), usa-se o sinal que aumenta a tensão. Para segurança usamos o caso que dá maior valor absoluto de \sigma.

Passo 5

Equação combinada para a tensão normal total e limite em \sigma_{\text{adm}}.
  • Somando axial e flexão (assumindo ambos coincidentes na mesma fibra mais crítica), temos
\sigma=\frac{P_a}{A} \pm \frac{M}{S}.
  • Se M provém de excentricidade e do próprio P (situação comum), M=P\cdot e. Substituindo P_a=P (se toda a força é axial) e M=P e,
\sigma = P\left(\frac{1}{A} \pm \frac{e}{S}\right).
  • A condição de segurança dá a desigualdade (tomando o sinal que gere maior |\sigma|):
P\left|\frac{1}{A} \pm \frac{e}{S}\right| \le \sigma_{\text{adm}}.
  • Assim, a partir dessa desigualdade isolamos P:
P \le \frac{\sigma_{\text{adm}}}{\left|\dfrac{1}{A} \pm \dfrac{e}{S}\right|}.
Essa é a fórmula que dá o limite pela verificação de tensão normal (quando M é proporcional a P via excentricidade). Se o momento veio de outra força, escreva M em termos de P conforme a geometria e substitua.

Passo 6

Cisalhamento: cálculo da tensão de cisalhamento devido a esforço cortante V.
  • Se \mathbf{P} produz um esforço cortante V na seção (por ex., P transversal), a tensão de cisalhamento média na alma pode ser estimada pela fórmula da viga em seção I:
\tau=\frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • \;Q\; é o primeiro momento de área da parte da seção que fica acima (ou abaixo) da linha onde se calcula \tau em relação ao eixo neutro (unidades \mathrm{mm}^3);
  • \;t\; é a espessura na região onde se mede a tensão de cisalhamento (para a alma, t=t_w);
  • \;I\; é o momento de inércia da seção.
  • Para uma viga de perfil I simétrico, o máximo de \tau costuma ocorrer na alma, próximo ao eixo neutro; o Q que se usa é a primeira área da metade superior completa (flange + parte da alma) em relação ao eixo neutro.
  • Em muitos guias práticos, para a alma de um W-beam, a expressão simplificada é
\tau_{\max} = V\cdot\frac{Q_{\text{na alma}}}{I\,t_w}.
  • A condição de segurança em cisalhamento é
\tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}},
o que fornece um limite em V (e, se V é diretamente P, fornece limite em P):
P \le \frac{\tau_{\text{adm}}\,I\,t_w}{Q_{\text{na alma}}}
(se V=P). Calcule Q_{\text{na alma}} com cuidado a partir da geometria real da seção.

Passo 7

Como combinar as duas verificações (normal e cisalhamento) para obter P_{\max}.
  • Faça ambas as verificações:
    1. Limite por tensão normal: calcule P_{1} a partir da expressão do Passo 5 (substituindo A, S, e ou M conforme o caso).
    2. Limite por cisalhamento: calcule P_{2} a partir da expressão do Passo 6 (substituindo I, t_w, Q).
  • O valor máximo seguro será o menor dos limites:
P_{\max}=\min\{P_{1},\,P_{2}\}.
  • Observação prática: cuide das unidades (usar \mathrm{N} e \mathrm{mm}, pois \mathrm{MPa}=\mathrm{N}/\mathrm{mm}^2). Use tabelas do perfil W\;360\times45 para obter A, I, S, t_w, b_f, t_f numericamente.

Passo 8

Como calcular A,I,S,Q para um perfil W na prática (passo a passo rápido):
  1. Consulte a tabela do perfil W\;360\times45 (manuais de perfis) e anote: A (em \mathrm{mm}^2), I_x (em \mathrm{mm}^4), S_x=I_x/y_{\max} (em \mathrm{mm}^3), largura da aba b_f, espessura da alma t_w, espessura da aba t_f e altura total h.
  2. Para Q na alma (na linha do neutro), compute a área acima do neutro A' (flange + parte de alma) e a distância do seu centróide ao neutro \bar{y}: Q=A'\bar{y}. Para um I simétrico isso fica relativamente direto: A' = área de uma flange + área da porção de alma acima do neutro.
  3. Substitua A,I,S,Q,t_w nas fórmulas dos Passos 5 e 6 para obter os limites numéricos.

Passo 9

Resumo do procedimento prático (passo a passo que você pode usar na prova, rápido e direto):
  1. Identifique na figura a seção crítica e escreva P em termos de componentes relevantes: P_a (axial), V (transversal), e excentricidade e (se houver).
  2. Busque na tabela do perfil W\;360\times45 os valores numéricos de A,I,S,t_w,b_f,t_f,h.
  3. Calcule M (se houver) em função de P e e: normalmente M=P\cdot e ou M=P\cdot a dependendo da alavanca.
  4. Use a fórmula da tensão normal combinada:
\sigma = \frac{P_a}{A} \pm \frac{M}{S}
e imponha |\sigma|\le \sigma_{\text{adm}}, isolando P.
5. Calcule \tau_{\max}=\dfrac{V\,Q}{I\,t_w} (com V expresso em função de P) e imponha \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}, isolando P.
6. A resposta final é P_{\max}=\min\{P\\ \text{(por normal)},\;P\\ \text{(por cisalh.)}\}.
Se quiser, eu faço esse cálculo numérico passo a passo — mas para isso eu preciso da figura (para saber se P gera V, P_a, e etc.) e/ou das propriedades numéricas da seção W\;360\times45. Não invento valores: uso as tabelas de perfis.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o valor máximo de \mathbf{P} sem a figura que indica a direção/posição/excentricidade de \mathbf{P} e sem as propriedades numéricas da seção W\;360\times45 (área A, momento de inércia I, espessura da alma t_w, largura/espessura das abas, etc.).

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