P11.21 O eixo é suportado por um mancal axial liso em
e um mancal radial liso em
. Se o eixo é feito de aço com tensão normal admissível
e tensão de cisalhamento admissível
, determine a força máxima admissível
que pode ser aplicada ao eixo. A espessura da parede do eixo é
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a força máxima admissível
que pode ser aplicada ao eixo.
Informações fornecidas no enunciado:
Informações fornecidas no enunciado:
Outras informações: o eixo é suportado por um mancal axial em
e por um mancal radial em
(isto está no enunciado).
Informações que faltam e que são essenciais para obter um valor numérico para
:
- dimensões do eixo além da espessura (por exemplo o diâmetro externo
ou o diâmetro interno , ou alguma relação entre eles); - posição e direção exata da força
(é axial? é transversal? aplicada no fim do eixo? há braço de alavanca que gera momento?); - distâncias entre a aplicação de
e os mancais (por exemplo o vão para calcular momentos de flexão); - se existe torque aplicado além de
ou alguma excentricidade que gere torque.
Sem essa figura ou esses dados geométricos e de posicionamento, não é possível calcular um valor numérico para
. Nos passos seguintes eu explico detalhadamente o procedimento, as fórmulas e como montar e resolver o problema assim que essas informações forem conhecidas.
Passo 2
Plano geral de solução (o que faremos quando tivermos os dados que faltam). As verificações típicas que determinam o máximo admissível
:
- determinar as reações nos mancais a partir das equações de equilíbrio (se
for transversal haverá reação radial em ; se for axial haverá reação axial em ); - escolher a seção crítica do eixo onde as tensões são máximas (normalmente logo ao lado de um apoio ou na seção transversal que fica sujeita ao maior momento de flexão ou maior esforço cortante);
- calcular as tensões normais (devidas a força axial e a flexão) e as tensões de cisalhamento (devidas a esforço cortante e/ou torção) naquela seção;
- comparar as tensões com as admissíveis: exigir
e ; a força admissível será o menor valor obtido a partir dessas verificações (a mais crítica).
Vou agora te ensinar as fórmulas e como aplicá‑las passo a passo para o caso geral de um eixo tubular (paredes de espessura
), para que você consiga aplicar na prova quando souber as dimensões e a posição de
.
Passo 3
Geometria do eixo tubular e área eficaz — expressões em função do diâmetro externo
e da espessura
.
Definimos:
Definimos:
A área da seção transversal (área da parede tubular) é
Substituindo
e desenvolvendo:
logo fica uma forma útil e simples:
Explicação: isso facilita porque só precisa de
e do
dado; se o eixo for fino (
),
.
O momento de inércia (segunda área) da seção circular oca em relação ao eixo neutro (eixo que passa pelo centro) é
O raio externo é
. O módulo resistente à flexão (section modulus) é
O momento polar (para torção) é
Observação prática: essas fórmulas são padrão para seções circulares ocos; sempre anote o que é cada símbolo (
área,
momento de inércia na flexão,
momento polar,
distância da fibra mais externa ao eixo neutro).
Passo 4
Verificação de tensão normal por carga axial (caso
seja axial).
Se for uma força axial aplicada ao eixo, a tensão normal uniforme é
Se
Para não ultrapassar a tensão admissível impomos
Substituindo
obtemos a expressão prática:
Interpretação prática: se na figura
estiver alinhada com o eixo, essa será a verificação primária. Note que, para usar numericamente, precisa do valor de
.
Passo 5
Verificação de flexão (caso
seja transversal ou produza momento).
Se for transversal (ou causar momento em alguma seção), haverá um momento de flexão
na seção crítica. A tensão de flexão na fibra mais externa é
Se
Para não ultrapassar
impomos
Se o momento
na seção crítica é gerado por
aplicado a distância
(ex.:
para uma força na extremidade), então
Substituindo
e
em termos de
(ou
) dá uma expressão direta em função de
. Portanto, para calcular numericamete
precisamos saber
(ou
) e o braço
.
Dica didática: na prova, desenhe o diagrama de corpo livre, localize a seção crítica (normalmente próxima ao mancal com maior momento), escreva
em termos de
e de distâncias, e então iguale a condição de admissibilidade para
para achar
.
Passo 6
Verificação de cisalhamento (esforço cortante e torção).
a) Esforço cortante transversal: se for uma força transversal, a seção suporta um esforço cortante
igual a
(ou a parte dele, dependendo de reações). Uma verificação simples e conservadora é usar a tensão média de cisalhamento
a) Esforço cortante transversal: se
Impondo
dá
Observação: para seções circulares sólidas o máximo local de cisalhamento é
; para tubos a distribuição é diferente — a verificação correta exigiria usar a fórmula de cisalhamento transversal específica (cálculo de
ou a expressão para máximo de
em tubo). Se você prefere segurança rápida na prova, usar
é conservador e simples.
b) Torção: se houver um torque
(por ex. por excentricidade ou força fora do eixo que cria um momento torsor), a tensão de cisalhamento por torção na borda é
Se o torque for
(força
com excentricidade
), então a condição
dá
Novamente: para calcular numericamente precisamos da excentricidade
, de
(para
e
).
Passo 7
Como combinar as verificações e obter o
admissível final.
- Calcule cada limite isolado:
, , (e se houver torque). - O valor admissível final é o menor desses:
Explicação: a menor delas garante que nenhuma verificação seja violada. Na prova, depois de achar reações e expressar
em função de
, substitua nas fórmulas acima e resolva para
.
Passo 8
Resumo prático do que eu preciso que você me envie (ou o que você deve procurar na figura do enunciado) para eu calcular numericamenete
:
- diâmetro externo
(ou e ); \n- posição e direção de (axial ou transversal), e o ponto de aplicação; \n- distâncias entre os pontos de aplicação e os mancais (ex.: , posições relativas de e ); \n- se existe excentricidade ou torque associado; \n- qualquer outra força ou momento presente no sistema.
Se você me enviar esses dados (ou a figura completa), eu calculo passo a passo o valor numérico de
, fazendo as contas sem pular etapas para você aplicar no dia da prova.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque o enunciado fornecido não traz dimensões essenciais nem a posição/direção exata da força
(faltam, por exemplo, o diâmetro externo
ou interno
, o braço
ou excentricidade, e a figura completa).