P11.25 Determine se a viga W360 \times 33 suportará com segurança uma carga w=25 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. A tensão de flexão admissível é \sigma_{\text {adm }}=150 \mathrm{MPa} e a tensão de cisalhamento admissível é \tau_{\text {udm }}=84 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a viga W360 \times 33 suporta com segurança uma carga distribuída w=25\\ \mathrm{kN/m}. Foram fornecidos os valores admissíveis:
\sigma_{\text{adm}} = 150\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{\text{adm}} = 84\\ \mathrm{MPa}.
Informações explícitas dadas:
w = 25\\ \mathrm{kN/m},\quad \sigma_{\text{adm}} = 150\\ \mathrm{MPa},\quad \tau_{\text{adm}} = 84\\ \mathrm{MPa}.
Informações relevantes que NÃO foram fornecidas no enunciado e que são necessárias para chegar a uma resposta numérica:
  • Condição de apoio / esquema da viga (por exemplo: viga biapoiada, engastada numa ponta — isto muda M_{\max} e V_{\max}).
  • Comprimento da viga L (sem L não dá para calcular momentos e esforços de corte).
  • Propriedades geométricas da seção W360 \times 33 retiradas da tabela do fabricante / norma: módulo de seção S_x (ou I_x e a distância c), momento de inércia I_x, espessura da alma t_w, altura útil da alma d_w e área da alma A_w, ou pelo menos o módulo resistente e a área útil para cisalhamento. Essas propriedades NÃO estão no enunciado nem em qualquer figura enviada.
Como essas informações são necessárias, a resolução numérica final NÃO pode ser feita até que pelo menos a condição de apoio + comprimento L e as propriedades da seção sejam conhecidas ou fornecidas. Nos próximos passos eu ensino detalhadamente como proceder, fórmula por fórmula, para você aplicar assim que tiver esses dados.

Passo 2

O que calcular primeiro (visão geral do procedimento que você vai aplicar na prova assim que tiver os dados):
  1. Calcular os esforços internos máximos causados por w: o momento máximo M_{\max} e a força cortante máxima V_{\max}. Essas fórmulas dependem do esquema de apoio. Dois casos mais comuns:
    • Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída w: M_{\max} = \frac{wL^{2}}{8},\qquad V_{\max} = \frac{wL}{2}.
    • Viga encravada tipo “cantilever” com carga w na extensão L: M_{\max} = \frac{wL^{2}}{2},\qquad V_{\max} = wL.
Expliquei essas fórmulas porque são as mais usadas na prova; escolha a correta conforme o esquema do enunciado.

Passo 3

Como verificar a tensão de flexão (a parte de “flexão”):
  • Fórmula básica para tensão de flexão na fibra extrema: \sigma = \frac{M}{S_x},onde:
    • M é o momento de flexão (use aqui M_{\max}),
    • S_x é o módulo de seção em relação ao eixo de flexão (unidades: \mathrm{mm}^3 ou \mathrm{m}^3, ajuste unidades).
  • Interpretação prática: S_x = \dfrac{I_x}{c}, com I_x sendo o momento de inércia em relação ao eixo neutro e c a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada.
  • Regra do teste: calcule \sigma_{\text{calc}} = \frac{M_{\max}}{S_x}e compare com \sigma_{\text{adm}}. A viga atende por flexão se e somente se \sigma_{\text{calc}} \le \sigma_{\text{adm}}.
  • No exame, sempre checar unidades: se M em \mathrm{kN\cdot m} transforme para \mathrm{N\cdot mm} e S_x em \mathrm{mm}^3 para obter \sigma em \mathrm{N/mm^2}=\mathrm{MPa}.
Exemplo de procedimento numérico simbólico (faça na prova substituindo L e S_x):
M_{\max} = \text{(usar fórmula do esquema)}\quad\Rightarrow\quad \sigma_{\text{calc}}=\frac{M_{\max}}{S_x}.ó

Passo 4

Como verificar a tensão de cisalhamento (a parte de “corte”):
  • A fórmula exata para a tensão de cisalhamento máxima em uma seção em I é \tau_{\max} = \frac{V_{\max}\,Q}{I_x\,t_w},onde:
    • V_{\max} é a força cortante máxima (obtida no Passo 2),
    • Q é o primeiro momento de área da parte da seção que fica acima (ou abaixo) do plano onde se calcula \tau; para a linha neutra, no caso da seção I, normalmente calcula-se Q da metade superior até o eixo neutro,
    • I_x é o momento de inércia da seção em torno do eixo neutro,
    • t_w é a espessura da alma (web thickness) no ponto onde se avalia a tensão de cisalhamento.
  • Interpretação de Q (como calcular rapidamente para I-beam): para a região do flange superior inteira até o eixo neutro, Q = A_{\text{flange}} \cdot \bar{y},onde A_{\text{flange}} é a área do flange considerada (por exemplo, área total do flange superior) e \bar{y} é a distância entre o centroide dessa área e o eixo neutro. Em prova, as tabelas de seções normalmente dão dimensões suficientes para calcular Q.
  • Aproximação prática muito usada (quando se quer cálculo rápido): a tensão média de cisalhamento na alma pode ser aproximada por \tau_{\text{avg}} \approx \frac{V_{\max}}{A_w},onde A_w é a área útil da alma (aprox. A_w \approx t_w \cdot d_w, com d_w sendo a altura da alma entre os flanges). Essa é uma aproximação conservadora para comparar com \tau_{\text{adm}}, mas a expressão exata com Q fornece o máximo real no bordo do flange. Use a fórmula exata sempre que possível.
  • Regra do teste: calcule \tau_{\text{calc}} e compare com \tau_{\text{adm}}. A viga atende por cisalhamento se \tau_{\text{calc}} \le \tau_{\text{adm}}.

Passo 5

Como obter os dados da seção W360 \times 33 (onde buscar e o que pegar):
  • As propriedades geométricas de uma viga W (como S_x, I_x, t_w, d, A) devem ser obtidas em tabelas de perfis (manuais de aço, normas ou catálogos do fabricante). Essas tabelas fornecem, por perfil:
    • Altura total h (ou d),
    • Espessura do alma t_w,
    • Largura do flange b_f,
    • Espessura do flange t_f,
    • Área A,
    • Momento de inércia I_x,
    • Módulo resistente S_x, etc.
  • Na prova, se o enunciado não fornece esses valores, normalmente o professor espera que você consulte uma tabela entregue com a prova ou que o enunciado os contenha. Sem essa tabela não há como calcular numericamente \sigma_{\text{calc}} nem \tau_{\text{calc}}.

Passo 6

Resumo do passo-a-passo prático que você fará na prova (quando tiver L e propriedades da seção):
  1. Determine o esquema de apoio (ex.: biapoiada) e o comprimento L.
  2. Calcule M_{\max} e V_{\max} usando as fórmulas apropriadas do Passo 2.
  3. Busque na tabela a viga W360 \times 33 e anote S_x, I_x, t_w, d_w, A.
  4. Calcule \sigma_{\text{calc}} = \dfrac{M_{\max}}{S_x}. Compare com \sigma_{\text{adm}}.
  5. Calcule \tau_{\text{calc}} usando a fórmula exata \tau_{\max}=\dfrac{V_{\max}Q}{I_x t_w} (calcule Q a partir das dimensões da seção) ou, se precisar de aproximação rápida, use \tau_{\text{avg}}\approx \dfrac{V_{\max}}{A_w}. Compare com \tau_{\text{adm}}.
  6. A viga é segura se cumprir ambas as verificações (flexão e cisalhamento). Se uma falhar, a viga não é segura.

Passo 7

Observações finais, dicas de prova e checagens:
  • Unidades: transforme tudo para \mathrm{N} e \mathrm{mm} para obter tensões em \mathrm{MPa}. Por exemplo, 1\\ \mathrm{kN\cdot m} = 10^6\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Ao comparar \sigma_{\text{calc}} com \sigma_{\text{adm}} e \tau_{\text{calc}} com \tau_{\text{adm}}, mantenha margem de segurança: alguns projetos usam fatores adicionais; aqui usamos diretamente os admissíveis dados.
  • Se na prova o enunciado não trouxer a tabela de perfis, o correto é declarar impossibilidade de cálculo numérico e listar os valores que faltam (como eu fiz no Passo 1). Faça isso claramente — é preferível a inventar valores.

Resposta

Não é possível determinar numericamente se a viga suporta a carga porque faltam: o esquema de apoio e comprimento L da viga e as propriedades geométricas da seção W360 \times33 (por ex. S_x,\\ I_x,\\ t_w,\\ d_w,\\ A). Forneça esses dados (ou a tabela de perfis) que eu executo os cálculos passo a passo.

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