P2.16 a) Um corpo de massa
desliza sobre uma superfície horizontal áspera. O coeficiente de atrito estático é
e o coeficiente de deslizamento,
. Determine uma função analítica,
, para representar a força de atrito, que tenha o valor constante apropriado, em velocidades apreciáveis, e reduz-se ao valor estático em velocidades baixas.
b) Determine o movimeno sob à ação da força que você achou, no caso de ocorrer partir com velocidade
.
b) Determine o movimeno sob à ação da força que você achou, no caso de ocorrer partir com velocidade
Passo 1
Beleza, vamos lá. O problema é dividido em duas partes:
a) Você tem um bloco de massa num plano horizontal com atrito. O coeficiente de atrito estático é
(que vale quando o bloco quase não se move) e o coeficiente de atrito cinético é
(que vale em “velocidades apreciáveis”). A tarefa é achar uma função
que, para baixas velocidades, dê força de atrito igual a
, e para altas velocidades dê
.
b) Com essa força , determinar o movimento do bloco começando com velocidade inicial
.
a) Você tem um bloco de massa
b) Com essa força
Conteúdo envolvido:
- Atrito estático vs. cinético
- Como montar uma função que interpolia entre dois valores quando a variável (aqui
) vai de 0 até - Segunda lei de Newton e equação diferencial de primeira ordem
- Separação de variáveis e integração
Passo 2
A ideia é “colar” uma transição suave (analítica) entre
e
. Uma forma comumente usada é empregar um decaimento exponencial em função da velocidade. Por exemplo, definimos um parâmetro de escala
(uma velocidade de transição arbitrária, mas fixada) e escolhemos:
Por que isso funciona?
- Para velocidades muito grandes
, o termo , então
que é a força de atrito cinético constante.
2) Para velocidades muito pequenas , o termo
, então
2) Para velocidades muito pequenas
que é exatamente a força de atrito estático máxima.
3) Está em LaTeX e é contínua (só perde derivabilidade no zero por causa da , mas satisfaz os limites exigidos).
3) Está em LaTeX e é contínua (só perde derivabilidade no zero por causa da
Passo 3
Agora montamos a equação de movimento. Pela 2ª Lei de Newton, para
(supondo que o bloco desliza sempre no mesmo sentido),
Vamos resolver isso por separação de variáveis:
- Escreve
- Para integrar, fazemos a troca
- O denominador vira
. Assim
- Essa integral é trivial:
- Voltando a
, , então obtemos
- Ajustando a constante usando
:
- Finalmente isolamos
:
válido enquanto o valor dentro do log for positivo (ou seja, enquanto o bloco estiver deslizando).
- O tempo de parada
ocorre quando . Basta pôr na fórmula:
Daí
Resposta
a) Uma função analítica que faz a interpolação certa é
b) A partir de
e separando variáveis, obtém-se para
(com
):
até o bloco parar em