P2.16 a) Um corpo de massa m desliza sobre uma superfície horizontal áspera. O coeficiente de atrito estático é mus e o coeficiente de deslizamento, mu. Determine uma função analítica, F(v), para representar a força de atrito, que tenha o valor constante apropriado, em velocidades apreciáveis, e reduz-se ao valor estático em velocidades baixas.
b) Determine o movimeno sob à ação da força que você achou, no caso de ocorrer partir com velocidade v0.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O problema é dividido em duas partes:
a) Você tem um bloco de massa num plano horizontal com atrito. O coeficiente de atrito estático é (que vale quando o bloco quase não se move) e o coeficiente de atrito cinético é (que vale em “velocidades apreciáveis”). A tarefa é achar uma função que, para baixas velocidades, dê força de atrito igual a , e para altas velocidades dê .
b) Com essa força , determinar o movimento do bloco começando com velocidade inicial .
Conteúdo envolvido:
  • Atrito estático vs. cinético
  • Como montar uma função que interpolia entre dois valores quando a variável (aqui ) vai de 0 até
  • Segunda lei de Newton e equação diferencial de primeira ordem
  • Separação de variáveis e integração

Passo 2

A ideia é “colar” uma transição suave (analítica) entre boxed F(v) ;=; -,m g;l[mu ;+;(mus-mu),e^-|v|vcr];sgn(v) e F(v);approx;-,m g,mu;sgn(v), . Uma forma comumente usada é empregar um decaimento exponencial em função da velocidade. Por exemplo, definimos um parâmetro de escala F(v);approx;-,m g,[mu +(mus-mu)],sgn(v) ;=;-,m g,mus,sgn(v), (uma velocidade de transição arbitrária, mas fixada) e escolhemos:
Por que isso funciona?
  1. Para velocidades muito grandes , o termo , então
que é a força de atrito cinético constante.
2) Para velocidades muito pequenas , o termo , então
que é exatamente a força de atrito estático máxima.
3) Está em LaTeX e é contínua (só perde derivabilidade no zero por causa da , mas satisfaz os limites exigidos).

Passo 3

Agora montamos a equação de movimento. Pela 2ª Lei de Newton, para m;dvdt ;=; F(v) Longrightarrow dvdt ;=;-,g;l[mu +(mus-mu),e^-v/vcr] (supondo que o bloco desliza sempre no mesmo sentido),
dvmu + (mus-mu)e^-v/vc ;=;-,g,dt
Vamos resolver isso por separação de variáveis:
  1. Escreve
u = e^,v/vc Longrightarrow du = 1vce^v/vcdv ;Rightarrow; dv = vc,duu
  1. Para integrar, fazemos a troca
integral dvmu+(mus-mu)e^-v/vc =integral vc,du/umu + (mus-mu)/u = vcintegral dumu,u +(mus-mu)
  1. O denominador vira vcintegral dumu,u +(mus-mu) = vcmu,ln!l[mu,u +(mus-mu)r] + C . Assim
vcmu,lnl[mu,e^v/vc+(mus-mu)r] = -,g,t + C
  1. Essa integral é trivial:
C = vcmu,lnl[mu,e^v0/vc+(mus-mu)r]
  1. Voltando a boxed v(t) = vc, ln!gl(l[mu,e^v0/vc+(mus-mu)r],e^-mu g t/vc - (mus-mu)mugr), , 0 = vcln!l(tfracD,e^-mu g trm stop/vc -(mus-mu)mur), Dequivmu,e^v0/vc+(mus-mu) , então obtemos
D,e^-mu g trm stop/vc = mus ;Longrightarrow; trm stop = vcmu,g, ln!l(Dmusr)
  1. Ajustando a constante usando :
  1. Finalmente isolamos :
válido enquanto o valor dentro do log for positivo (ou seja, enquanto o bloco estiver deslizando).
  1. O tempo de parada ocorre quando . Basta pôr na fórmula:
Daí

Resposta

a) Uma função analítica que faz a interpolação certa é
F(v) = -,m g;l[mu +(mus-mu),e^-tfrac|v|vcr];sgn(v)
b) A partir de boxed v(t) = vc, ln!gl(l[mu,e^v0/vc+(mus-mu)r],e^-mu g t/vc - (mus-mu)mugr), e separando variáveis, obtém-se para boxed trm stop = vcmu,g, ln!l(mu,e^v0/vc+(mus-mu)musr) (com ):
até o bloco parar em

Exercícios relacionados