P2.15 Um motor de um carro de corrida de massa m fornece uma potência constante P em sua aceleração máxima. Supondo que o atrito seja proporcional à velocidade, ache uma expressão para v(t), quando o carro é acelerado, a partir do repouso, com potência máxima. Sua solução comportase corretamente quando t infty ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um carro de massa m, que parte do repouso e recebe potência constante P do motor. O atrito (resistência ao movimento) é proporcional à velocidade, ou seja, Frm atrito=k,v. O que queremos? A expressão de v(t) quando o carro acelera com potência máxima.
Conteúdo da matéria: dinâmica (segunda lei de Newton), definição de potência, modelagem de atrito e resolução de equação diferencial por separação de variáveis. Vamos precisar usar:
  • P = Frm tração,vçã
  • m,dvdt = Frm tração - k,vçã
  • técnicas de integração (logaritmos).

Passo 2

Escrevendo as forças e a potência:
  1. A tração do motor é Frm traçãoçã, e por definição de potência constante:
P = Frm tração,v Longrightarrow Frm tração = Pvçãçã
2) Pela segunda lei de Newton:
m,dvdt = Frm tração - Frm atrito = Pv - k,vçã

Passo 3

Montamos a equação diferencial:
m,dvdt = Pv - k,v Longrightarrow m,dvdt = P - k,v^2v
Agora separamos variáveis ( v de um lado, t do outro):
m,v,dvP - k,v^2 = dt

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, usamos a substituição u = P - k,v^2, du = -2k,v,dv:
integral m,v,dvP - k,v^2 = integral dt Longrightarrow -m2kintegral duu = t + C Longrightarrow -m2klnl(P - k,v^2r) = t + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial v(0)=0 para achar C:
quando t=0, v=0
-tfrac m2kln(P)=C
Logo
$$-\frac{m}{2k}\bigl[\ln(P - k,v^2)-\ln P\bigr]=t
\quad\Longrightarrow\quad
\ln!\Bigl(\frac{P - k,v^2}{P}\Bigr)=-\frac{2k}{m},t.$$

Passo 6

Isolando v(t):
P - k,v^2P=e^-2k t/m Longrightarrow k,v^2 = Pl(1 - e^-2k t/mr) Longrightarrow v(t)=raizPk,l(1 - e^-2k t/mr)

Passo 7

Comportamento quando ttoinfty:
e^-2k t/mto0Longrightarrow v(t)toraizPk,
ou seja, a velocidade tende a um valor finito, o que faz sentido: a potência constante não consegue vencer indefinidamente a resistência do ar proporcional a v.

Resposta

$

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