P2.15 Um motor de um carro de corrida de massa
fornece uma potência constante
em sua aceleração máxima. Supondo que o atrito seja proporcional à velocidade, ache uma expressão para
, quando o carro é acelerado, a partir do repouso, com potência máxima. Sua solução comportase corretamente quando
?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um carro de massa
, que parte do repouso e recebe potência constante
do motor. O atrito (resistência ao movimento) é proporcional à velocidade, ou seja,
. O que queremos? A expressão de
quando o carro acelera com potência máxima.
Conteúdo da matéria: dinâmica (segunda lei de Newton), definição de potência, modelagem de atrito e resolução de equação diferencial por separação de variáveis. Vamos precisar usar:
Conteúdo da matéria: dinâmica (segunda lei de Newton), definição de potência, modelagem de atrito e resolução de equação diferencial por separação de variáveis. Vamos precisar usar:
-
-
- técnicas de integração (logaritmos).
Passo 2
Escrevendo as forças e a potência:
- A tração do motor é
, e por definição de potência constante:
2) Pela segunda lei de Newton:
Passo 3
Montamos a equação diferencial:
Agora separamos variáveis (
Passo 4
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, usamos a substituição
,
:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para achar
:
quando ,
dá
quando
Logo
$$-\frac{m}{2k}\bigl[\ln(P - k,v^2)-\ln P\bigr]=t
\quad\Longrightarrow\quad
\ln!\Bigl(\frac{P - k,v^2}{P}\Bigr)=-\frac{2k}{m},t.$$
Passo 6
Isolando
:
Passo 7
Comportamento quando
:
ou seja, a velocidade tende a um valor finito, o que faz sentido: a potência constante não consegue vencer indefinidamente a resistência do ar proporcional a
Resposta
$