P2.19 Uma partícula de massa m é repelida da origem por uma força inversamente proporcional ao cubo de sua distância à origem. Escreva a equação do movimento, considerando que a partícula está inicialmente em repouso em uma distância x0 da origem.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma partícula de massa que é “empurrada” para longe da origem por uma força que vale alguma constante dividida pela distância ao cubo. O que cai na nossa mão é usar a segunda lei de Newton (força = massa × aceleração) pra montar a tal equação do movimento. Aí a gente vai precisar:
  • Definir o eixo e o sinal da força.
  • Lembrar que aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo.
  • Pôr a força como e encaixar tudo em .

Passo 2

Primeiro, escolhemos F(x)=kx^3, como a distância da partícula à origem. Se ela está sendo repelida, a força aponta no sentido de aumentar . Então escrevemos
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora lembramos que pela segunda lei de Newton a força total é
m,d^2xdt^2=F(x)
Substituindo m,d^2xdt^2=kx^3 , a equação diferencial que descreve o movimento é
x(0)=x0, dot x(0)=0
Além disso, a condição inicial dada é que a partícula começa em repouso em , ou seja

Resposta

boxedm,d^2xdt^2=kx^3, x(0)=x0,;dot x(0)=0

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