P2.19 Uma partícula de massa
é repelida da origem por uma força inversamente proporcional ao cubo de sua distância à origem. Escreva a equação do movimento, considerando que a partícula está inicialmente em repouso em uma distância
da origem.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma partícula de massa
que é “empurrada” para longe da origem por uma força que vale alguma constante dividida pela distância ao cubo. O que cai na nossa mão é usar a segunda lei de Newton (força = massa × aceleração) pra montar a tal equação do movimento. Aí a gente vai precisar:
- Definir o eixo e o sinal da força.
- Lembrar que aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo.
- Pôr a força como
e encaixar tudo em .
Passo 2
Primeiro, escolhemos
como a distância da partícula à origem. Se ela está sendo repelida, a força aponta no sentido de aumentar
. Então escrevemos
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Agora lembramos que pela segunda lei de Newton a força total é
Substituindo
, a equação diferencial que descreve o movimento é
Além disso, a condição inicial dada é que a partícula começa em repouso em
, ou seja