P2.8 Um microfone, constituído de um diafragma de massa
e área
, está suspenso de forma a poder mover-se livremente em direção perpendicular ao diafragma. Uma onda sonora causa um impacto sobre o diafragma fazendo que a pressão em sua face frontal seja
Suponha que a pressão na face posterior permaneça constante e igual à pressão atmosférica
. Desprezando todas as outras forças, com excessão daquela devido a diferença de pressão através do diafragma, determine o seu movimento. Num microfone real existe uma força restauradora que age sobre o diafragma que o impede de se deslocar para muito longe. Como se desprezou este aqui, nada o imperdirá de deslocar-se, sem parar, a velocidade constante. Evite esta dificulade escolhendo a velocidade inicial de tal forma que o movimento seja puramente oscilatório. Se a voltagem de saída do microfone for proporcional à pressão do som
e independente de
, como deverá depender da amplitude e da frequência do movimento do diafragma?
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos um diafragma de microfone com massa m e área S que recebe uma pressão sonora na face da frente
enquanto atrás fica sempre a pressão atmosférica
. A gente despreza tudo, menos a força da diferença de pressão, e quer saber como o diafragma se move. Como não há mola, ele sairia “driftando” – mas a gente escolhe a condição inicial de velocidade certinha pra ter só movimento oscilatório.
Conteúdo:
Conteúdo:
- Segunda lei de Newton (força
) - Relação entre pressão e força numa área
- Resolução de uma equação diferencial simples do tipo
coisa sinusoidal - Ajuste das condições iniciais para eliminar termos de “drift”
Passo 2
Montando a equação de movimento:
- A força resultante sobre o diafragma vem da diferença de pressão vezes a área:
- Pela segunda lei de Newton
, onde é o deslocamento perpendicular, temos:
Aqui aplicamos a teoria das forças de pressão (pressão
área) e o conceito de aceleração (
).
Passo 3
Agora resolvemos a equação diferencial passo a passo.
- Integração para achar a velocidade
: - Para evitar “drift” (termo que cresce como
), a gente impõe que a velocidade média inicial seja zero, ou seja . - Integramos de novo para achar
: - Para o centro de oscilação estar em
, escolhemos .
Logo
A amplitude do movimento é
Passo 4
O enunciado diz que a tensão de saída
do microfone é proporcional a
e independe de
. Então, se quisermos escrever
em função da amplitude
e da frequência
, basta inverter a relação acima:
Logo
Resposta
- O movimento do diafragma é
x(t)=-S,p'm,omega^2,sin(omega t), - A tensão de saída do microfone,
, deve obedecerVpropto Ax,omega^2,, ou seja, proporcional à amplitude do diafragma e ao quadrado da frequência.