P2.8 Um microfone, constituído de um diafragma de massa m e área S, está suspenso de forma a poder mover-se livremente em direção perpendicular ao diafragma. Uma onda sonora causa um impacto sobre o diafragma fazendo que a pressão em sua face frontal seja
p=po+p^prime sin omega t
Suponha que a pressão na face posterior permaneça constante e igual à pressão atmosférica p0. Desprezando todas as outras forças, com excessão daquela devido a diferença de pressão através do diafragma, determine o seu movimento. Num microfone real existe uma força restauradora que age sobre o diafragma que o impede de se deslocar para muito longe. Como se desprezou este aqui, nada o imperdirá de deslocar-se, sem parar, a velocidade constante. Evite esta dificulade escolhendo a velocidade inicial de tal forma que o movimento seja puramente oscilatório. Se a voltagem de saída do microfone for proporcional à pressão do som p^prime e independente de omega, como deverá depender da amplitude e da frequência do movimento do diafragma?

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos um diafragma de microfone com massa m e área S que recebe uma pressão sonora na face da frente
p(t)=p0 + p',sin(omega t),,
enquanto atrás fica sempre a pressão atmosférica . A gente despreza tudo, menos a força da diferença de pressão, e quer saber como o diafragma se move. Como não há mola, ele sairia “driftando” – mas a gente escolhe a condição inicial de velocidade certinha pra ter só movimento oscilatório.
Conteúdo:
  • Segunda lei de Newton (força )
  • Relação entre pressão e força numa área
  • Resolução de uma equação diferencial simples do tipo coisa sinusoidal
  • Ajuste das condições iniciais para eliminar termos de “drift”

Passo 2

Montando a equação de movimento:
  1. A força resultante sobre o diafragma vem da diferença de pressão vezes a área: F(t)=Sl[p(t)-p0r]=Sl(p'sinomega tr),
  2. Pela segunda lei de Newton m,x''(t)=S,p',sin(omega t)Longrightarrow x''(t)=S,p'm,sin(omega t), , onde é o deslocamento perpendicular, temos:
Aqui aplicamos a teoria das forças de pressão (pressão área) e o conceito de aceleração ( ).

Passo 3

Agora resolvemos a equação diferencial passo a passo.
  1. Integração para achar a velocidade x'(t)=integral x''(t),dt=integral S,p'msin(omega t),dt = -S,p'm,omegacos(omega t) + C1, : x'(t)=-S,p'm,omegacos(omega t),
  2. Para evitar “drift” (termo que cresce como x(t)=integral x'(t),dt =-S,p'm,omegaintegralcos(omega t),dt =-S,p'm,omega^2sin(omega t) + C2, ), a gente impõe que a velocidade média inicial seja zero, ou seja boxedx(t)=-S,p'm,omega^2,sin(omega t), . Ax = S,p'm,omega^2,
  3. Integramos de novo para achar :
  4. Para o centro de oscilação estar em , escolhemos .
    Logo
A amplitude do movimento é

Passo 4

O enunciado diz que a tensão de saída p'=underbracem,omega^2Sconstante,Ax, do microfone é proporcional a boxedVpropto p' Longrightarrow Vpropto Ax,omega^2, e independe de . Então, se quisermos escrever em função da amplitude e da frequência , basta inverter a relação acima:
Logo

Resposta

  1. O movimento do diafragma é x(t)=-S,p'm,omega^2,sin(omega t),
  2. A tensão de saída do microfone, Vpropto Ax,omega^2,, , deve obedecer ou seja, proporcional à amplitude do diafragma e ao quadrado da frequência.

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