P2.17 Determine v(t) e x(t) para uma partícula de massa m que inicia o seu movimento em x0=0 a velocidade v0 e submetido à ação de uma força do tipo
F=-b v^2,
onde b é uma constante positiva. Determine o tempo necessário para a partícula parar e a distância percorrida até parar.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente achar a velocidade F=-b,v^2, e a posição de uma partícula de massa que começa em com velocidade inicial , sob a força
onde . Depois ainda querem o tempo que ela leva pra “parar” e a distância que ela percorre até isso.
Conteúdo envolvido:
• Lei de Newton .
• Equação diferencial ordinária (separação de variáveis).
• Integração de e de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de movimento usando m,dvdt=F=-b,v^2 Longrightarrow dvdt=-bm,v^2 :
dvv^2=-bm,dt
Aqui aplicamos separação de variáveis: deixamos os de um lado e o do outro:
Isso nos permite integrar cada lado separadamente.

Passo 3

Integramos de integralv0^v(t)!v^-2dv ;=; -bmintegral0^t!dt' até l[-1vr]v0^v(t) =-1v(t)+1v0 =-bm,t Longrightarrow 1v(t)=1v0+bm,t no lado de v(t)=11v0+bmt =v01+b,v0m,t e de até no lado de :
Sabendo que , temos
Invertendo,

Passo 4

Agora, para achar x(t)=integral0^t v(t'),dt' =integral0^tv01+b,v0mt',dt' , usamos x(t)=v0integral0^tdt'1+k,t' =v0kl[ln(1+k,t')r]0^t =mbln!l(1+tfracb,v0m,tr) . Integramos de até em e de até em :
Definindo , a integral vira

Passo 5

Pra ver quando a partícula “para” ( v(t)=v01+b,v0mt ), note que
x(infty)=mblnl(1+inftyr)=infty
só chega a zero quando o denominador vai a infinito, ou seja, . Isso quer dizer que ela nunca atinge exatamente num tempo finito. Então:
• Tempo até parar: .
• Distância até parar:

Resposta

v(t)=
x(t)=
Tempo de parada:
Distância até parar:

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