P2.17 Determine
e
para uma partícula de massa
que inicia o seu movimento em
a velocidade
e submetido à ação de uma força do tipo
onde
é uma constante positiva. Determine o tempo necessário para a partícula parar e a distância percorrida até parar.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente achar a velocidade
e a posição
de uma partícula de massa
que começa em
com velocidade inicial
, sob a força
onde
. Depois ainda querem o tempo que ela leva pra “parar” e a distância que ela percorre até isso.
Conteúdo envolvido:
• Lei de Newton .
• Equação diferencial ordinária (separação de variáveis).
• Integração de e de
.
Conteúdo envolvido:
• Lei de Newton
• Equação diferencial ordinária (separação de variáveis).
• Integração de
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de movimento usando
:
Aqui aplicamos separação de variáveis: deixamos os
de um lado e o
do outro:
Isso nos permite integrar cada lado separadamente.
Passo 3
Integramos de
até
no lado de
e de
até
no lado de
:
Sabendo que
, temos
Invertendo,
Passo 4
Agora, para achar
, usamos
. Integramos de
até
em
e de
até
em
:
Definindo
, a integral vira
Passo 5
Pra ver quando a partícula “para” (
), note que
só chega a zero quando o denominador vai a infinito, ou seja,
. Isso quer dizer que ela nunca atinge exatamente
num tempo finito. Então:
• Tempo até parar: .
• Distância até parar:
• Tempo até parar:
• Distância até parar:
Resposta
v(t)=
x(t)=
Tempo de parada:
Distância até parar:
x(t)=
Tempo de parada:
Distância até parar: