P2.20 Uma massa está conectada à origem por meio de uma mola de constante , cujo o comprimento, quando relaxada, é igual . A força restauradora é aproximadamente proporcional à distância em que a mola foi esticada ou comprimida, admitindo-se que não seja esticada ou comprimida demais. Entretanto, quando a mola é comprimida demais, a força cresce rapidamente, de tal forma que é impossível comprimí-la até um tamanho menor de que a metade do seu comprimento, quando em repouso. Quando a mola é esticada num tamanho maior do que duas vezes o seu comprimento, quando relaxada, ela começa a enfraquecer, e a força restauradora torna-se igual a zero quando esticada em comprimento muitos grandes.
a. Determine uma função força que represente este comportamento. (Uma mola real deforma-se, se esticada demais, de tal maneira que se torna função da sua história anterior, mas você deve supor que depende somente de .)
b. Determine e descreva os movimentos que podem ocorrer.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o problema: temos uma massa m ligada na origem por uma mola de constante k e comprimento relaxado l. Para pequenas deformações a força segue a Lei de Hooke (∝ deslocamento), mas com uma pegadinha:
Se você comprimi-la além de x = l/2, a força explode para não deixar ela ficar menor que isso.
Se você estendê-la além de x = 2l, a mola enfraquece e, no limite x→∞, a força vai a zero.
Conteúdo: mecânica de partículas – força conservativa e potencial. Vamos precisar lembrar que para força 1D conservativa vale
e que pontos onde F(x)=0 são equilíbrios.
Passo 2
Escolher uma função F(x) que, para x≈l, se comporte como Lei de Hooke e ainda tenha:
quando (impede compressão demais).
quando (mola enfraquece).
Uma montagem simples é:
Vamos checar:
Em x=l: numerador ⇒ , ok (equilíbrio).
Para x→(l/2)^+: numerador ≃positive, denominador→0+ ⇒ .
Para x→∞: numerador ≃−k x, denominador ≃(x)(x/l)=x^2/l ⇒ , ou seja, força restauradora vai a zero.
Passo 3
Agora achamos o potencial V(x). Lembra que
Definimos . Então
Logo
Fazendo frações parciais
temos
Passo 4
Escolhendo a constante C = -k,ll[-ln(tfrac l2)+2ln lr] = -k,lln(2l) para deixar boxed V(x) = k,ll[2ln x ;-;ln(x-tfrac l2)r];-;k,lln(2l) , basta pôr
Fica então
Passo 5
Descrição dos movimentos:
Em , ⇒ barreira de potencial, não dá para ir além.
Em , (cresce como ) ⇒ também não escapa para o infinito.
O único ponto de equilíbrio é em (onde tem mínimo).
Logo, para qualquer energia , a massa fica “presa” em um poço de potencial entre duas barreiras infinitas e oscila em torno de . Para pequenas energias dá oscilações quase harmônicas; para energias maiores, amplitudes maiores, mas sempre fico entre e .
Resposta
a)
F(x)=k,,l - x,l(x - tfrac l2r)l(1 + tfracx-llr) com força restauradora (positiva para xl) ç
b)
V(x)=k,ll[2ln x - ln(x-tfrac l2)r]-k,lln(2l),
com poço de potencial divergindo em e em , equilibrando-se em . Os movimentos possíveis são oscilações dentro desse poço, sempre entre , com ponto de equilíbrio estável em .