P2.20 Uma massa m está conectada à origem por meio de uma mola de constante k, cujo o comprimento, quando relaxada, é igual l. A força restauradora é aproximadamente proporcional à distância em que a mola foi esticada ou comprimida, admitindo-se que não seja esticada ou comprimida demais. Entretanto, quando a mola é comprimida demais, a força cresce rapidamente, de tal forma que é impossível comprimí-la até um tamanho menor de que a metade do seu comprimento, quando em repouso. Quando a mola é esticada num tamanho maior do que duas vezes o seu comprimento, quando relaxada, ela começa a enfraquecer, e a força restauradora torna-se igual a zero quando esticada em comprimento muitos grandes.
a. Determine uma função força F(x) que represente este comportamento. (Uma mola real deforma-se, se esticada demais, de tal maneira que F se torna função da sua história anterior, mas você deve supor que F depende somente de x.)
b. Determine V(x) e descreva os movimentos que podem ocorrer.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o problema: temos uma massa m ligada na origem por uma mola de constante k e comprimento relaxado l. Para pequenas deformações a força segue a Lei de Hooke (∝ deslocamento), mas com uma pegadinha:
  • Se você comprimi-la além de x = l/2, a força explode para não deixar ela ficar menor que isso.
  • Se você estendê-la além de x = 2l, a mola enfraquece e, no limite x→∞, a força vai a zero.
Conteúdo: mecânica de partículas – força conservativa e potencial. Vamos precisar lembrar que para força 1D conservativa vale
V(x) = -integral F(x),dx + C,
e que pontos onde F(x)=0 são equilíbrios.

Passo 2

Escolher uma função F(x) que, para x≈l, se comporte como Lei de Hooke e ainda tenha:
  1. F(x) ;=; k,l - xl(x - tfrac l2r),l(1 + tfracx-llr) quando (impede compressão demais).
  2. quando (mola enfraquece).
Uma montagem simples é:
Vamos checar:
  • Em x=l: numerador , ok (equilíbrio).
  • Para x→(l/2)^+: numerador ≃positive, denominador→0+ ⇒ .
  • Para x→∞: numerador ≃−k x, denominador ≃(x)(x/l)=x^2/l ⇒ , ou seja, força restauradora vai a zero.

Passo 3

Agora achamos o potencial V(x). Lembra que
V(x)=-integral F(x),dx
Definimos F(x) = k,l - x(x-tfrac l2)l(1+tfracx-llr) = -k,l,u(u+tfrac l2)(u+l) . Então
V(x) =-integral F(x),dx = k,lintegral u(u+tfrac l2)(u+l),du
Logo
u(u+tfrac l2)(u+l) = -1u+tfrac l2+2u+l,
Fazendo frações parciais
V(x) = k,ll[-lnl|u+tfrac l2r| + 2ln|u+l|r] + C = k,ll[-ln(x-tfrac l2) + 2ln xr] + C
temos

Passo 4

Escolhendo a constante C = -k,ll[-ln(tfrac l2)+2ln lr] = -k,lln(2l) para deixar boxed V(x) = k,ll[2ln x ;-;ln(x-tfrac l2)r];-;k,lln(2l) , basta pôr
Fica então

Passo 5

Descrição dos movimentos:
  • Em , ⇒ barreira de potencial, não dá para ir além.
  • Em , (cresce como ) ⇒ também não escapa para o infinito.
  • O único ponto de equilíbrio é em (onde tem mínimo).
Logo, para qualquer energia , a massa fica “presa” em um poço de potencial entre duas barreiras infinitas e oscila em torno de . Para pequenas energias dá oscilações quase harmônicas; para energias maiores, amplitudes maiores, mas sempre fico entre e .

Resposta

a)
F(x)=k,,l - x,l(x - tfrac l2r)l(1 + tfracx-llr) com força restauradora (positiva para xl) ç
b)
V(x)=k,ll[2ln x - ln(x-tfrac l2)r]-k,lln(2l),
com poço de potencial divergindo em e em , equilibrando-se em . Os movimentos possíveis são oscilações dentro desse poço, sempre entre , com ponto de equilíbrio estável em .

Exercícios relacionados