(P2-2012.2) Um pai de massa M brinca com seu tilho de massa m na superície horizontal de um lago congelado, onde o atrito pode ser desprezado; considere M>m. Cada um segura uma das extremidades de uma corda leve e comprida. Eles devem puxar a corda para conseguir pegar uma bola, colocada na metade da distância entre os dois. Qual a afirmação é verdadeira quando ambos puxam a corda?
(a) O resultado dependerá do esforço que cada um fará.
(b) O filho alcançará a bola primeiro, qualquer que seja seu esforço.
(c) O pai, por ser mais forte, alcançará a bola primeiro.
(d) Os dois sempre alcancarão a bola ao mesmo tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta qual alternativa é verdadeira:
Um pai de massa M e um filho de massa m estão sobre gelo sem atrito, com M>m.
Cada um segura uma extremidade de uma corda leve (massa desprezível) e ambos puxam a corda.
A bola está colocada na metade da distância entre os dois (ou seja, a uma distância igual de cada um).
Pergunta: quando ambos puxam a corda, qual alternativa é verdadeira:
(a) depende do esforço de cada um;
(b) o filho alcançará a bola primeiro, qualquer que seja seu esforço;
(c) o pai alcançará a bola primeiro;
(d) os dois sempre alcançarão ao mesmo tempo.
Passo 2
Entender as forças que atuam: ao puxarem a corda cada um transmite à corda uma tensão e a corda transmite uma força para cada um puxando-os para o centro. Por propriedades básicas:
A corda é leve (massa desprezível) e está em contato entre as duas extremidades; portanto, a tensão ao longo da corda é a mesma em todos os pontos (se houver variação de tempo, é uma função T(t), mas é a mesma para os dois).
Newton 3: a corda exerce sobre cada pessoa uma força igual em módulo e dirigida para o centro; chamemos essa força de tensão T(t) (função do tempo, possivelmente).
Assim, a força horizontal resultante sobre o pai é -T(t) (apontando para o centro) e sobre o filho é +T(t) (apontando para o centro no outro sentido). Não há atrito nem outras forças horizontais externas.
Passo 3
Aplicar a segunda lei de Newton para cada massa (choque amigo: não precisa assumir T constante).
Para o pai (massa M):M\,a_{\!P}(t)=T(t)\quad\Rightarrow\quad a_{\!P}(t)=\frac{T(t)}{M}.
Para o filho (massa m):m\,a_{\!F}(t)=T(t)\quad\Rightarrow\quad a_{\!F}(t)=\frac{T(t)}{m}.
Observação importante: como M>m, para qualquer instante t em que T(t)>0 vale
Isto é, a aceleração instantânea do filho é sempre maior que a do pai, independentemente de como a tensão varia no tempo.
Passo 4
Comparar os deslocamentos até a bola sem assumir forma específica de T(t). Ambos partem do repouso e têm aceleração que depende de T(t). Escrevemos o deslocamento (positivo em direção ao centro) como duplo integral da aceleração:
Deslocamento do pai até um tempo t:s_{P}(t)=\int_{0}^{t}\!\int_{0}^{t'} a_{\!P}(t'')\,dt''\,dt'=\frac{1}{M}\,\underbrace{\int_{0}^{t}\!\int_{0}^{t'} T(t'')\,dt''\,dt'}_{I(t)}.
Deslocamento do filho até o mesmo tempo t:s_{F}(t)=\int_{0}^{t}\!\int_{0}^{t'} a_{\!F}(t'')\,dt''\,dt'=\frac{1}{m}\,I(t).
Portanto existe a relação direta
s_{F}(t)=\frac{M}{m}\,s_{P}(t).
Como M/m>1, para qualquer instante t>0 o filho terá percorrido uma distância maior em direção ao centro que o pai. Em particular, suponha que a bola esteja a uma distância s de cada um no início (aqui s é metade da separação inicial). O tempo t_P em que o pai alcançaria a bola é definido por s_{P}(t_P)=s. No mesmo instante temos
ou seja, no instante em que o pai apenas alcançaria a bola o filho já a ultrapassou. Logo o filho atinge a posição da bola em um tempo menor que o pai, independente de como T(t) varia — a tensão T(t) aparece igual nas duas expressões e cancela-se na comparação.
Passo 5
Interpretação física mais intuitiva (ajuda a fixar a ideia): o sistema pai+filho não recebe força horizontal externa, então o centro de massa não se desloca. Quando puxam, o centro de massa fica parado e ambos se aproximam dele; como o pai tem maior massa, ele se desloca menos do que o filho para manter o centro de massa fixo. Portanto o filho percorre mais caminho em direção ao centro (e à bola) e chega primeiro.
Passo 6
Conclusão e incentivo: independentemente de quem puxa mais forte (qualquer que seja a força/tensão que produzem), a aceleração do filho é sempre maior porque sua massa é menor. Assim o filho alcança a bola antes do pai. Não desanime — física boa é ver como algumas relações simples fazem tudo ficar claro!