- (Y&F) Uma mulher de
está em pé em uma canoa de
com
de extensão. Ela percorre de um ponto a
de uma extremidade a um ponto a
da outra extremidade. Se você ignorar a resistência ao movimento da canoa na água, o quanto a canoa se move durante esse processo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei os números da figura enviada).
- Dados fornecidos:
- massa da mulher:
. - massa da canoa:
. - comprimento da canoa:
. - posição inicial da mulher:
a partir de uma extremidade (chamarei essa extremidade de “esquerda”). - posição final da mulher:
a partir da outra extremidade (ou seja, a partir da extremidade esquerda, porque ).
- massa da mulher:
- O que o enunciado pede:
- determinar o quanto a canoa se move durante o processo (ou seja, o deslocamento da canoa relativa à água, incluindo direção).
Passo 2
Princípio físico que vou usar (explicado devagar): se desprezarmos a resistência da água, não há força externa horizontal significativa atuando no sistema “mulher + canoa”. Quando não há força externa horizontal, a posição do centro de massa (CM) do sistema não muda com o tempo — ela é constante. Essa é a chave: a mulher se move em relação à canoa, mas o CM do sistema (mulher + canoa) permanece fixo em relação à água.
Fórmula do centro de massa para dois objetos ao longo de uma linha (explicando cada símbolo):
Fórmula do centro de massa para dois objetos ao longo de uma linha (explicando cada símbolo):
onde
é a posição (no referencial da água) do centro de massa da mulher e
é a posição (no referencial da água) do centro de massa da canoa.
Passo 3
Escolha de referencial e variáveis (muito importante para não se perder):
- Tomarei como origem
a posição da extremidade esquerda da canoa no instante inicial (antes da mulher andar). Esse ponto inicial está fixo no referencial da água apenas como referência numérica inicial; depois a canoa pode deslocar-se. - Chamarei de
o deslocamento da canoa (da extremidade esquerda) medido em relação à água: se a canoa deslocou-se para a direita; se deslocou-se para a esquerda. A canoa desloca-se como um corpo rígido, então todas as posições relativas dentro da canoa somam esse .
Agora escrevo as posições iniciais (em relação à água, usando a origem definida):
- posição inicial da mulher:
. - posição inicial do centro da canoa: como o centro da canoa está no meio,
.
Calculo o CM inicial do sistema usando a fórmula:
Passo 4
Cálculo numérico do centro de massa inicial (mostrando contas passo a passo):
- Numerador:
Calculo: .
E.
Soma:. - Denominador:
- Portanto
(Guardei esse valor exato como , mas posso usar aproximação quando necessário.)
Passo 5
Expressando o centro de massa final em função do deslocamento
:
- Depois que a mulher andou, a extremidade esquerda da canoa está em
. - A posição final da mulher (em relação à água) é
porque ela está a da extremidade esquerda da canoa. - A posição final do centro da canoa (em relação à água) é
pois o centro da canoa fica sempre a da extremidade esquerda da canoa. - O CM final é então
Passo 6
Impondo conservação do centro de massa (o CM não muda):
Substituo as expressões:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 7
Desenvolvendo a equação e resolvendo para
(mostrando cada conta):
- Expansão do lado esquerdo:
- Agrupando
: - Calculo das constantes:
então
.
- Substituindo:
- Isolando
:
Passo 8
Resultado numérico e interpretação (passo a passo):
- Valor decimal:
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas dos dados iniciais): - Interpretação do sinal:
significa que a extremidade esquerda da canoa (ou seja, a canoa inteira) deslocou-se para a esquerda, isto é, no sentido oposto ao movimento da mulher ao longo da canoa. Em palavras amigáveis: quando a mulher caminha para a direita sobre a canoa, a canoa desliza para a esquerda de modo que o CM do sistema fique fixo.
Passo 9
Verificação rápida de consistência (checagem mental útil na prova):
- Posição inicial da mulher (na água):
. - Posição final da mulher (na água):
. Logo a mulher avançou na água, como esperado. - O deslocamento da canoa
sendo menor que o deslocamento relativo da mulher em relação à canoa faz sentido porque a mulher é mais leve que a soma do sistema.
Resposta
A canoa se move
para a esquerda (em relação à água).