1. (Y&F) Uma mulher de 45,0 \mathrm{~kg} está em pé em uma canoa de 60,0 \mathrm{~kg} com 5,00 \mathrm{~m} de extensão. Ela percorre de um ponto a 1,00 \mathrm{~m} de uma extremidade a um ponto a 1,00 \mathrm{~m} da outra extremidade. Se você ignorar a resistência ao movimento da canoa na água, o quanto a canoa se move durante esse processo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei os números da figura enviada).
  • Dados fornecidos:
    • massa da mulher: m_w = 45{,}0\\ \mathrm{kg}.
    • massa da canoa: M_c = 60{,}0\\ \mathrm{kg}.
    • comprimento da canoa: L = 5{,}00\\ \mathrm{m}.
    • posição inicial da mulher: 1{,}00\\ \mathrm{m} a partir de uma extremidade (chamarei essa extremidade de “esquerda”).
    • posição final da mulher: 1{,}00\\ \mathrm{m} a partir da outra extremidade (ou seja, 4{,}00\\ \mathrm{m} a partir da extremidade esquerda, porque L-1{,}00=4{,}00).
  • O que o enunciado pede:
    • determinar o quanto a canoa se move durante o processo (ou seja, o deslocamento da canoa relativa à água, incluindo direção).

Passo 2

Princípio físico que vou usar (explicado devagar): se desprezarmos a resistência da água, não há força externa horizontal significativa atuando no sistema “mulher + canoa”. Quando não há força externa horizontal, a posição do centro de massa (CM) do sistema não muda com o tempo — ela é constante. Essa é a chave: a mulher se move em relação à canoa, mas o CM do sistema (mulher + canoa) permanece fixo em relação à água.
Fórmula do centro de massa para dois objetos ao longo de uma linha (explicando cada símbolo):
X_{\mathrm{CM}}=\frac{m_w x_w + M_c x_c}{m_w + M_c},
onde x_w é a posição (no referencial da água) do centro de massa da mulher e x_c é a posição (no referencial da água) do centro de massa da canoa.

Passo 3

Escolha de referencial e variáveis (muito importante para não se perder):
  • Tomarei como origem x=0 a posição da extremidade esquerda da canoa no instante inicial (antes da mulher andar). Esse ponto inicial está fixo no referencial da água apenas como referência numérica inicial; depois a canoa pode deslocar-se.
  • Chamarei de \Delta o deslocamento da canoa (da extremidade esquerda) medido em relação à água: se \Delta>0 a canoa deslocou-se para a direita; se \Delta<0 deslocou-se para a esquerda. A canoa desloca-se como um corpo rígido, então todas as posições relativas dentro da canoa somam esse \Delta.
Agora escrevo as posições iniciais (em relação à água, usando a origem definida):
  • posição inicial da mulher: x_{w1}=1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • posição inicial do centro da canoa: como o centro da canoa está no meio, x_{c1}=\dfrac{L}{2}=2{,}50\\ \mathrm{m}.
Calculo o CM inicial do sistema usando a fórmula:
X_{\mathrm{CM,\,inicial}}=\frac{m_w x_{w1} + M_c x_{c1}}{m_w + M_c}.

Passo 4

Cálculo numérico do centro de massa inicial (mostrando contas passo a passo):
  • Numerador: m_w x_{w1} + M_c x_{c1} = 45{,}0\cdot 1{,}00 + 60{,}0\cdot 2{,}50.Calculo: 45{,}0\cdot 1{,}00 = 45{,}0.
    E 60{,}0\cdot 2{,}50 = 150{,}0.
    Soma: 45{,}0 + 150{,}0 = 195{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m}.
  • Denominador: m_w + M_c = 45{,}0 + 60{,}0 = 105{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Portanto X_{\mathrm{CM,\,inicial}}=\frac{195{,}0}{105{,}0}=1{,}857142857\ldots\\ \mathrm{m}.(Guardei esse valor exato como \dfrac{195}{105}=\dfrac{13}{7}, mas posso usar aproximação quando necessário.)

Passo 5

Expressando o centro de massa final em função do deslocamento \Delta:
  • Depois que a mulher andou, a extremidade esquerda da canoa está em x=\Delta.
  • A posição final da mulher (em relação à água) é x_{w2}=\Delta + 4{,}00\\ \mathrm{m},porque ela está a 4{,}00\\ \mathrm{m} da extremidade esquerda da canoa.
  • A posição final do centro da canoa (em relação à água) é x_{c2}=\Delta + 2{,}50\\ \mathrm{m},pois o centro da canoa fica sempre a 2{,}50\\ \mathrm{m} da extremidade esquerda da canoa.
  • O CM final é então X_{\mathrm{CM,\,final}}=\frac{m_w x_{w2} + M_c x_{c2}}{m_w + M_c}.

Passo 6

Impondo conservação do centro de massa (o CM não muda):
X_{\mathrm{CM,\,final}} = X_{\mathrm{CM,\,inicial}}.
Substituo as expressões:
\frac{m_w(\Delta + 4{,}00) + M_c(\Delta + 2{,}50)}{m_w + M_c} = \frac{195{,}0}{105{,}0}.
Multiplicando ambos os lados por m_w+M_c=105{,}0 para simplificar:
m_w(\Delta + 4{,}00) + M_c(\Delta + 2{,}50) = 195{,}0.

Passo 7

Desenvolvendo a equação e resolvendo para \Delta (mostrando cada conta):
  • Expansão do lado esquerdo: m_w\Delta + m_w\cdot 4{,}00 + M_c\Delta + M_c\cdot 2{,}50 = 195{,}0.
  • Agrupando \Delta: (m_w + M_c)\Delta + \bigl(m_w\cdot 4{,}00 + M_c\cdot 2{,}50\bigr) = 195{,}0.
  • Calculo das constantes: m_w\cdot 4{,}00 = 45{,}0\cdot 4{,}00 = 180{,}0,
M_c\cdot 2{,}50 = 60{,}0\cdot 2{,}50 = 150{,}0,
então 180{,}0 + 150{,}0 = 330{,}0.
  • Substituindo: 105{,}0\\ \Delta + 330{,}0 = 195{,}0.
  • Isolando \Delta: 105{,}0\\ \Delta = 195{,}0 - 330{,}0 = -135{,}0.
\Delta = \frac{-135{,}0}{105{,}0} = -\frac{135}{105} = -\frac{9}{7}.

Passo 8

Resultado numérico e interpretação (passo a passo):
  • Valor decimal: \Delta = -\frac{9}{7}\\ \mathrm{m} \approx -1{,}285714\ldots\\ \mathrm{m}.Arredondando razoavelmente (duas casas significativas dos dados iniciais): \Delta \approx -1{,}29\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação do sinal: \Delta<0 significa que a extremidade esquerda da canoa (ou seja, a canoa inteira) deslocou-se para a esquerda, isto é, no sentido oposto ao movimento da mulher ao longo da canoa. Em palavras amigáveis: quando a mulher caminha para a direita sobre a canoa, a canoa desliza para a esquerda de modo que o CM do sistema fique fixo.

Passo 9

Verificação rápida de consistência (checagem mental útil na prova):
  • Posição inicial da mulher (na água): 1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Posição final da mulher (na água): x_{w2}=\Delta + 4{,}00 \approx -1{,}2857 + 4{,}00 = 2{,}7143\\ \mathrm{m}. Logo a mulher avançou na água, como esperado.
  • O deslocamento da canoa |\Delta| sendo menor que o deslocamento relativo da mulher em relação à canoa faz sentido porque a mulher é mais leve que a soma do sistema.

Resposta

A canoa se move 1{,}29\\ \mathrm{m} para a esquerda (em relação à água).

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