- (Y&F) O diâmetro de Plutão é de aproximadamente 2.370 km , e o diâmetro de seu satélite Charon é 1.250 km . Embora haja variação, em geral eles estão a 19.700 km de distância, de um centro a outro. Supondo que Plutão e Charon possuam a mesma composição e, portanto, a mesma densidade média, ache a localização do centro de massa desse sistema em relação ao centro de Plutão.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a posição do centro de massa do sistema Plutão–Charon em relação ao centro de Plutão (distância ao longo da linha que liga os centros). As informações dadas são (peguei estes números do enunciado):
- Diâmetro de Plutão:
. - Diâmetro de Charon:
. - Distância entre os centros (Plutão a Charon):
. - Suposição: Plutão e Charon têm a mesma densidade média.
O que se pede: a distância do centro de Plutão até o centro de massa do par Plutão–Charon, medida ao longo da linha que une os dois centros.
Passo 2
Ideia e fórmula básica (explicada passo a passo).
- Para duas massas pontuais
(Plutão) e (Charon) localizadas em e , respectivamente, o centro de massa ao longo dessa linha é dado por
Explicando: cada massa “puxa” o centro de massa na sua direção proporcionalmente à sua massa; como escolhemos o centro de Plutão como origem (
), só sobra o termo com
.
- Agora como obter as massas
e ? Como foi dito que as densidades são iguais, , temos
e para esferas (boa aproximação para planetas/satélites),
onde
é o raio. Portanto a razão de massas é a razão dos volumes, e como o raio é metade do diâmetro,
Isto nos permite calcular
diretamente a partir dos diâmetros dados, sem precisar da densidade numérica.
Passo 3
Calcular a razão de massas usando os diâmetros fornecidos.
- Primeiro a razão dos diâmetros:
- Elevar ao cubo para obter a razão de massas:
Expliquei: elevou-se ao cubo porque volume de esfera cresce como o cubo do raio/diâmetro.
Passo 4
Expressar
em termos da razão calculada e avaliar numericamente.
- Usando a forma conveniente
substituímos
e
:
- Avaliando numericamente:
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Passo 5
Interpretação final e checagem rápida.
- O raio de Plutão é
. - Como
, o centro de massa do sistema fica fora do volume de Plutão, a cerca de acima da superfície de Plutão, ao longo da linha que aponta para Charon. Isso é consistente com o fato conhecido de que o baricentro Plutão–Charon fica fora de Plutão.