1. (Y&F) O diâmetro de Plutão é de aproximadamente 2.370 km , e o diâmetro de seu satélite Charon é 1.250 km . Embora haja variação, em geral eles estão a 19.700 km de distância, de um centro a outro. Supondo que Plutão e Charon possuam a mesma composição e, portanto, a mesma densidade média, ache a localização do centro de massa desse sistema em relação ao centro de Plutão.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a posição do centro de massa do sistema Plutão–Charon em relação ao centro de Plutão (distância ao longo da linha que liga os centros). As informações dadas são (peguei estes números do enunciado):
  • Diâmetro de Plutão: D_P = 2{,}370\\ \text{km}.
  • Diâmetro de Charon: D_C = 1{,}250\\ \text{km}.
  • Distância entre os centros (Plutão a Charon): d = 19{,}700\\ \text{km}.
  • Suposição: Plutão e Charon têm a mesma densidade média.
O que se pede: a distância do centro de Plutão até o centro de massa do par Plutão–Charon, medida ao longo da linha que une os dois centros.

Passo 2

Ideia e fórmula básica (explicada passo a passo).
  • Para duas massas pontuais M_P (Plutão) e M_C (Charon) localizadas em x=0 e x=d, respectivamente, o centro de massa x_{\rm cm} ao longo dessa linha é dado por
x_{\rm cm}=\frac{M_P\cdot 0 + M_C\cdot d}{M_P+M_C}=\frac{M_C}{M_P+M_C}\,d.
Explicando: cada massa “puxa” o centro de massa na sua direção proporcionalmente à sua massa; como escolhemos o centro de Plutão como origem ( x=0), só sobra o termo com M_C.
  • Agora como obter as massas M_P e M_C? Como foi dito que as densidades são iguais, \rho_P=\rho_C=\rho, temos
M=\rho V,
e para esferas (boa aproximação para planetas/satélites),
V=\frac{4}{3}\pi r^3,
onde r é o raio. Portanto a razão de massas é a razão dos volumes, e como o raio é metade do diâmetro,
\frac{M_P}{M_C}=\frac{V_P}{V_C}=\left(\frac{r_P}{r_C}\right)^3=\left(\frac{D_P}{D_C}\right)^3.
Isto nos permite calcular M_P/M_C diretamente a partir dos diâmetros dados, sem precisar da densidade numérica.

Passo 3

Calcular a razão de massas usando os diâmetros fornecidos.
  • Primeiro a razão dos diâmetros:
\frac{D_P}{D_C}=\frac{2{,}370}{1{,}250}=1{,}896.
  • Elevar ao cubo para obter a razão de massas:
\frac{M_P}{M_C}=\left(1{,}896\right)^3 \approx 6{,}815771136\approx 6{,}816.
Expliquei: elevou-se ao cubo porque volume de esfera cresce como o cubo do raio/diâmetro.

Passo 4

Expressar x_{\rm cm} em termos da razão calculada e avaliar numericamente.
  • Usando a forma conveniente
x_{\rm cm}=\frac{M_C}{M_P+M_C}\,d=\frac{1}{1+\dfrac{M_P}{M_C}}\,d,
substituímos \dfrac{M_P}{M_C}\approx 6{,}815771136 e d=19{,}700\\ \text{km}:
x_{\rm cm}=\frac{1}{1+6{,}815771136}\times 19{,}700\\ \text{km} =\frac{1}{7{,}815771136}\times 19{,}700\\ \text{km}.
  • Avaliando numericamente:
\frac{1}{7{,}815771136}\approx 0{,}12797,
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x_{\rm cm}\approx 0{,}12797\times 19{,}700\\ \text{km}\approx 2{,}521\\ \text{km}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida.
  • O raio de Plutão é r_P=\dfrac{D_P}{2}=\dfrac{2{,}370}{2}=1{,}185\\ \text{km}.
  • Como x_{\rm cm}\approx 2{,}521\\ \text{km}>1{,}185\\ \text{km}, o centro de massa do sistema fica fora do volume de Plutão, a cerca de 2{,}521-1{,}185\approx 1{,}336\\ \text{km} acima da superfície de Plutão, ao longo da linha que aponta para Charon. Isso é consistente com o fato conhecido de que o baricentro Plutão–Charon fica fora de Plutão.

Resposta

2{,}521\\ \text{km} do centro de Plutão (aproximadamente)

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