P2.28 Um corpo de massa
sai do repouso impulsionada por um meio que exerce sobre ele um atrito de arrastamento,
.
a. Determine sua velocidade
.
b. Qual a velocidade terminal?
c. Expanda o resultado obtido, em série de potências de
, mantendo termos até
.
d. Por quê a solução não concorda com a equação
, mesmo no caso de pequenos intervalos de tempo
?
a. Determine sua velocidade
b. Qual a velocidade terminal?
c. Expanda o resultado obtido, em série de potências de
d. Por quê a solução não concorda com a equação
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é resolver o movimento de uma partícula de massa m que parte do repouso e sofre uma força de atrito de arrastamento dada por
Isso cai em EDO de 1ª ordem (equação de Newton), onde vamos separar variáveis e integrar. Depois vamos ver limites de tempo longo (velocidade “terminal”), expandir em série de potências de
até
e comentar por que isso não bate com
.
O que precisamos:
- Montar a EDO
. - Separar variáveis e integrar com
. - Calcular limite
. - Fazer expansão de Taylor em
. - Discutir por que não aparece um termo
.
Passo 2
Resolvendo a) encontramos
.
- A equação de movimento é
- Separamos variáveis:
- Integramos de
a e de a :
- Isso dá
Passo 3
Resolvendo b) velocidade terminal.
Velocidade terminal é
. Aqui o argumento do log fica zero quando
, dando
. Ou seja, não há limite finito:
Passo 4
Resolvendo c) expansão em série até
.
A gente usa o fato de
. Aqui
. Então
Substituindo
:
Passo 5
Resolvendo d) por que não bate com
?
A fórmula
assume aceleração constante
; aqui a aceleração é
que varia com
e, portanto, com
. Mesmo em
pequeno não é constante: no instante
,
, que geralmente não é
. Ou seja, o “g” real não aparece porque a única força aqui é arraste não-gravitacional, e ela depende de
.
Resposta
a)
.
b) Não há velocidade terminal finita (vai a em
).
c) Série até :
.
d) Porque exige aceleração constante
, mas aqui a aceleração varia com
(não é constante).
b) Não há velocidade terminal finita (vai a
c) Série até
d) Porque