P2.28 Um corpo de massa m sai do repouso impulsionada por um meio que exerce sobre ele um atrito de arrastamento, F=-b e^alpha v.
a. Determine sua velocidade v(t).
b. Qual a velocidade terminal?
c. Expanda o resultado obtido, em série de potências de t, mantendo termos até t^2.
d. Por quê a solução não concorda com a equação v=vo-g t, mesmo no caso de pequenos intervalos de tempo t ?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver o movimento de uma partícula de massa m que parte do repouso e sofre uma força de atrito de arrastamento dada por
F = -b,e^alpha v,
Isso cai em EDO de 1ª ordem (equação de Newton), onde vamos separar variáveis e integrar. Depois vamos ver limites de tempo longo (velocidade “terminal”), expandir em série de potências de até e comentar por que isso não bate com .
O que precisamos:
  • Montar a EDO .
  • Separar variáveis e integrar com .
  • Calcular limite .
  • Fazer expansão de Taylor em .
  • Discutir por que não aparece um termo .

Passo 2

Resolvendo a) encontramos m,dvdt = -b,e^alpha v .
  1. A equação de movimento é
dve^alpha v = -bm,dt
  1. Separamos variáveis:
integral0^v e^-alpha v',dv' ;=; -bmintegral0^t dt' ;Longrightarrow; l[-1alphae^-alpha v'r]0^v = -bm,t
  1. Integramos de -1alphal(e^-alpha v-1r) = -bm,t Longrightarrow 1 - e^-alpha v = balpham,t a boxedv(t) = -1alphaln!l(1 - balpham,tr) e de a :
  1. Isso dá

Passo 3

Resolvendo b) velocidade terminal.
Velocidade terminal é boxedNão existe velocidade terminal finita (vtoinfty ao tto m/(balpha)) . Aqui o argumento do log fica zero quando , dando . Ou seja, não há limite finito:
ã

Passo 4

Resolvendo c) expansão em série até v(t) = -1alphalnl(1 - xr) approx -1alphal(-x - tfracx^22r) = xalpha + x^22alpha .
A gente usa o fato de v(t)approx 1alphabalphamt + 12alphal(balphamtr)^2 = bm,t ;+;b^2alpha2m^2,t^2 . Aqui boxedv(t)approx bmt + b^2alpha2m^2t^2(só até t^2) . Então
Substituindo :
óé

Passo 5

Resolvendo d) por que não bate com a(t)=dvdt=-bme^alpha v(t), ?
A fórmula assume aceleração constante ; aqui a aceleração é
que varia com e, portanto, com . Mesmo em pequeno não é constante: no instante , , que geralmente não é . Ou seja, o “g” real não aparece porque a única força aqui é arraste não-gravitacional, e ela depende de .

Resposta

a) .
b) Não há velocidade terminal finita (vai a em ).
c) Série até : .
d) Porque exige aceleração constante , mas aqui a aceleração varia com (não é constante).

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