P2.44 Uma força Fo e^-a t age sobre um oscilador harmônico de massa m, a constante da mola k e a constante de amortecimento b. Determine uma solução particular da equação do movimento, partindo da suposição de que existe uma solução com a mesma dependência do tempo que a força aplicada.

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é achar uma solução particular para o oscilador harmônico amortecido
m⋅x¨ + b⋅x˙ + k⋅x = F₀ e^(−a t)
supondo que essa solução tenha a mesma forma no tempo que a força aplicada.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2ª ordem e método dos coeficientes indeterminados.
O que precisamos:
  1. Montar a equação do movimento.
  2. Fazer o “chute” de que xₚ(t)=A e^(−a t).
  3. Calcular xₚ′ e xₚ″, substituir na equação e achar A.

Passo 2

Escrevendo a EDO do movimento:
m,x¨ + b,x˙ + k,x = F₀,e^-a t
Pelo método dos coeficientes indeterminados, a gente supõe uma solução particular com a mesma dependência de tempo da força:
xp(t)=A,e^-a t,
onde A é uma constante a determinar.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de xₚ:
xp'(t) = -aA,e^-a t, xp''(t)=a^2A,e^-a t
Substituindo na equação:
m,(a^2A,e^-a t) + b,(-aA,e^-a t) + k,(A,e^-a t) = F₀,e^-a t
Fatorando A,(m,a^2 - b,a + k) = F₀:
A = F₀m,a^2 - b,a + k
Logo,

Resposta

boxedxp(t)=F0m,a^2 - b,a + k;e^-a t

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