P2.5 Uma partícula de massa
em repouso em
está submetida á força
.
a) Esboce a forma que se deve esperar para
e
, para vários períodos de oscilação da força.
b) Determine
e
e compare com o esboço anterior.
a) Esboce a forma que se deve esperar para
b) Determine
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que uma partícula de massa
parte do repouso em
e está sujeita a
O assunto é Dinâmica (segundo lei de Newton) e integração em Cinemática. Para resolver a gente precisa:
- usar
pra achar ; - lembrar da identidade
; - integrar
pra obter e depois ; - aplicar as condições iniciais
e .
Passo 2
Parte (a) – esboço qualitativo:
- Como
é sempre não-negativa e oscila com , a velocidade vai subindo no geral, mas com “solavancos” periódicos. Então imagine uma rampa ascendente com pequenas ondulações. - A posição
vai acumulando essa velocidade crescente, ou seja, um “arco” levemente parabólico (crescimento ∝ ) também com ondulações.
Passo 3
Parte (b) – achando
:
- Newton:
- Use
:
- Integração para
:
- Simplificando:
Passo 4
Agora
:
- Integra o termo linear:
- Integra o termo
:
- Somando e garantindo
:
Passo 5
Comparando com o esboço:
-
cresce como uma linha inclinada (termo ) com oscilações senoidais de frequência . -
é basicamente uma parábola ( ) com pequenas ondulações em .
Isso confirma o que a gente desenhou no passo 2.
Resposta
v(t)=
x(t)=
x(t)=