P2.5 Uma partícula de massa m em repouso em t=0 está submetida á força F(t)=Fo sin ^2(omega t).
a) Esboce a forma que se deve esperar para v(t) e x(t), para vários períodos de oscilação da força.
b) Determine v(t) e x(t) e compare com o esboço anterior.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma partícula de massa F(t)=F0,sin^2(omega t) parte do repouso em e está sujeita a
O assunto é Dinâmica (segundo lei de Newton) e integração em Cinemática. Para resolver a gente precisa:
  1. usar pra achar ;
  2. lembrar da identidade ;
  3. integrar pra obter e depois ;
  4. aplicar as condições iniciais e .

Passo 2

Parte (a) – esboço qualitativo:
  • Como é sempre não-negativa e oscila com , a velocidade vai subindo no geral, mas com “solavancos” periódicos. Então imagine uma rampa ascendente com pequenas ondulações.
  • A posição vai acumulando essa velocidade crescente, ou seja, um “arco” levemente parabólico (crescimento ∝ ) também com ondulações.

Passo 3

Parte (b) – achando m,a(t)=F0sin^2(omega t)Longrightarrow a(t)=F0m,sin^2(omega t) :
  1. Newton:
a(t)=F0m,1-cos2omega t2 =F02m-F02mcos2omega t
  1. Use v(t)=F02m,t-F02mintegral0^tcos2omega t',dt' =F02m,t-F02mcdotsin2omega t2omega :
boxedv(t)=F02m,t;-;F04momega,sin(2omega t)
  1. Integração para :
  1. Simplificando:

Passo 4

Agora -F04momegaintegral0^tsin2omega t',dt' =-F04momegacdotl(-cos2omega t-12omegar) =F08momega^2,l(cos2omega t-1r) :
  1. Integra o termo linear: boxedx(t)=F04m,t^2;+;F08momega^2l(cos2omega t-1r)
  2. Integra o termo :
  1. Somando e garantindo :

Passo 5

Comparando com o esboço:
  • cresce como uma linha inclinada (termo ) com oscilações senoidais de frequência .
  • é basicamente uma parábola ( ) com pequenas ondulações em .
    Isso confirma o que a gente desenhou no passo 2.

Resposta

v(t)=
x(t)=

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