P2.7 Uma partícula, cuja velocidade original seja , está sujeita à força dada por
onde po é o impulso total.
a. Determine v(t) e x(t).
b. Mostre que, quando de, o movimento se aproxima de movimento à velocidade constante que muda abruptamente sua velocidade em t=t0 de uma quantidade de po / m. ( de é um intervalo de tempo fixo).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que usamos aqui.
Enunciado em poucas palavras: uma partícula parte com velocidade inicial . Ela sofre uma força que é zero até o instante , vale entre e , e volta a ser zero depois disso. O é o impulso total.
Conteúdo: segunda lei de Newton (), definição de impulso () e integração para obter velocidade e posição .
O que vamos precisar:
Saber que .
Integrar para achar .
Integrar para achar .
Estudar o limite .
Passo 2
Determinar v(t)=v0, .
Para a=Fm=p0m,de, a força é zero, logo aceleração v(t)-v(t0)=a,(t-t0) Longrightarrow v(t)=v0+p0m,de e a velocidade fica constante:
vl(t0+de
Para v(t)=v0+p0m, , a força é . Então
Integramos :
Para , de novo , então fica constante igual ao valor em :
Quando , esse salto acontece instantaneamente. Fora desse pulinho, é constante.
Para , o termo fica nulo se é muito menor que , mas no limite a parte “quadrática” vira zero, e o deslocamento é sempre retilíneo com apenas uma mudança brusca de inclinação em .
Resposta
v(t) = v0, & tt0+de
x(t) = v0,t, & tt0+de
No limite , sofre um salto instantâneo de em , e o movimento se reduz a retas com velocidades antes e depois de .