P2.7 Uma partícula, cuja velocidade original seja v0, está sujeita à força dada por
F(t) 0, & tt0
onde po é o impulso total.
a. Determine v(t) e x(t).
b. Mostre que, quando de, o movimento se aproxima de movimento à velocidade constante que muda abruptamente sua velocidade em t=t0 de uma quantidade de po / m. ( de é um intervalo de tempo fixo).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que usamos aqui.
Enunciado em poucas palavras: uma partícula parte com velocidade inicial . Ela sofre uma força que é zero até o instante , vale entre e , e volta a ser zero depois disso. O é o impulso total.
Conteúdo: segunda lei de Newton ( ), definição de impulso ( ) e integração para obter velocidade e posição .
O que vamos precisar:
  • Saber que .
  • Integrar para achar .
  • Integrar para achar .
  • Estudar o limite .

Passo 2

Determinar v(t)=v0, .
  1. Para a=Fm=p0m,de, a força é zero, logo aceleração v(t)-v(t0)=a,(t-t0) Longrightarrow v(t)=v0+p0m,de e a velocidade fica constante:
vl(t0+de
  1. Para v(t)=v0+p0m, , a força é . Então
Integramos :
  1. Para , de novo , então fica constante igual ao valor em :
e assim, para ,

Passo 3

Determinar v(t)=v0 Longrightarrow x(t)=integral0^t v0,dt' = v0,t, . Vamos supor x(t) =x(t0)+integralt0^t!l[v0+p0m,de pra simplificar.
  1. x(t)=v0,t0 + v0,(t-t0) + p0m,de:
x(t)=x(t0+de
  1. x(t)=v0,(t0+de:
Como ,
  1. :
E, usando ,

Passo 4

Agora o limite De.
  • A variação de velocidade entre e é
Quando , esse salto acontece instantaneamente. Fora desse pulinho, é constante.
  • Para , o termo fica nulo se é muito menor que , mas no limite a parte “quadrática” vira zero, e o deslocamento é sempre retilíneo com apenas uma mudança brusca de inclinação em .

Resposta

v(t) =
v0, & tt0+de
x(t) =
v0,t, & tt0+de
No limite , sofre um salto instantâneo de em , e o movimento se reduz a retas com velocidades antes e depois de .

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