P2.4 Um próton de alta velocidade e carga elétrica
desloca-se à velocidade constante
sobre uma linha reta próxima a um elétron de massa
e carga
, inicialmente em repouso. O elétron encontra-se à distânica
da trajetória do próton.
a) Suponha que o próton passe pelo elétron tão rapidademente que este não tenha tempo suficiente para deslocar-se a uma distância apreciável até o próton esteja muito longe. Mostre que a componente de força em direção perpendicular à linha sobre o qual o próton se desloca é
onde
, quando próton alcança a distância maior aproximação do elétron.
a) Calcule o impulso gerado por esta força.
b) Usando esse resultados, calcule (faça aproximação) o momento linear final e a energia cinética final do elétron.
c) Mostre que a condição para que a suposição original no item a) seja válida é
a) Suponha que o próton passe pelo elétron tão rapidademente que este não tenha tempo suficiente para deslocar-se a uma distância apreciável até o próton esteja muito longe. Mostre que a componente de força em direção perpendicular à linha sobre o qual o próton se desloca é
a) Calcule o impulso gerado por esta força.
b) Usando esse resultados, calcule (faça aproximação) o momento linear final e a energia cinética final do elétron.
c) Mostre que a condição para que a suposição original no item a) seja válida é
Passo 1
Beleza, aqui o que o enunciado diz é o seguinte:
Um próton (carga + e) passa reto a uma distância a de um elétron que está parado. Ele se move a velocidade constante e causa uma força de Coulomb no elétron.
Conteúdo: força de Coulomb, impulso (integral da força), conservação de momento, energia cinética e condição de pequena perturbação.
O que vamos usar:
Um próton (carga + e) passa reto a uma distância a de um elétron que está parado. Ele se move a velocidade constante
Conteúdo: força de Coulomb, impulso (integral da força), conservação de momento, energia cinética e condição de pequena perturbação.
O que vamos usar:
- A expressão da força perpendicular
- Impulso
-
, - E por fim checar a condição de pouca deflexão.
Passo 2
Vamos calcular o impulso
- Fatoramos constantes fora:
- Fazemos a troca
e :
- Sabemos que
.
Logo
Passo 3
Agora o momento linear final do elétron (toda a força foi perpendicular ao caminho original) é
Daí a velocidade final perpendicular é
e sua energia cinética final é
Passo 4
Para nossa suposição (o elétron não se mexe muito durante o encontro) ser válida, ele não deve se deslocar muita coisa na direção perpendicular enquanto o próton está próximo.
O tempo de interação é da ordem de , e o deslocamento
.
Impor dá
O tempo de interação é da ordem de
Impor
Substituindo
, vem
E essa é exatamente a condição de que a energia potencial elétrica na distância
,
, seja muito menor que a energia cinética
.
Resposta
- Impulso:
- Momento final:
- Condição de validade: