P2.4 Um próton de alta velocidade e carga elétrica e desloca-se à velocidade constante v0 sobre uma linha reta próxima a um elétron de massa m e carga -e, inicialmente em repouso. O elétron encontra-se à distânica a da trajetória do próton.
a) Suponha que o próton passe pelo elétron tão rapidademente que este não tenha tempo suficiente para deslocar-se a uma distância apreciável até o próton esteja muito longe. Mostre que a componente de força em direção perpendicular à linha sobre o qual o próton se desloca é
F=14 pi varepsilon0 a e^2(a^2+v0^2 t^2)^3 / 2
onde t=0, quando próton alcança a distância maior aproximação do elétron.
a) Calcule o impulso gerado por esta força.
b) Usando esse resultados, calcule (faça aproximação) o momento linear final e a energia cinética final do elétron.
c) Mostre que a condição para que a suposição original no item a) seja válida é
e^24 pi varepsilon0 ll 12 m v0^2

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado diz é o seguinte:
Um próton (carga + e) passa reto a uma distância a de um elétron que está parado. Ele se move a velocidade constante F(t)=14pivarepsilon0,a,e^2l(a^2+v0^2t^2r)^3/2 e causa uma força de Coulomb no elétron.
Conteúdo: força de Coulomb, impulso (integral da força), conservação de momento, energia cinética e condição de pequena perturbação.
O que vamos usar:
  • A expressão da força perpendicular
  • Impulso
  • ,
  • E por fim checar a condição de pouca deflexão.

Passo 2

Vamos calcular o impulso
I ;=;integral-infty^+infty 14pivarepsilon0,a,e^2l(a^2+v0^2t^2r)^3/2,dt
  1. Fatoramos constantes fora:
I=a,e^24pivarepsilon0integral-infty^+inftydt(a^2+v0^2t^2)^3/2
  1. Fazemos a troca I=a,e^24pivarepsilon0,av0 integral-infty^+inftydul(a^2(1+u^2)r)^3/2 =e^24pivarepsilon0,1v0,a integral-infty^+inftydu(1+u^2)^3/2 e I=e^24pivarepsilon0,1v0,a,times 2 =12pivarepsilon0,e^2v0,a :
  1. Sabemos que .
    Logo

Passo 3

Agora o momento linear final do elétron (toda a força foi perpendicular ao caminho original) é
pperp=I=12pivarepsilon0,e^2v0,a
Daí a velocidade final perpendicular é Ek=pperp^22m =12mgl(12pivarepsilon0e^2v0,agr)^!2 e sua energia cinética final é

Passo 4

Para nossa suposição (o elétron não se mexe muito durante o encontro) ser válida, ele não deve se deslocar muita coisa na direção perpendicular enquanto o próton está próximo.
O tempo de interação é da ordem de vperpav0ll a Longrightarrow vperpll v0 Longrightarrow pperpll m,v0 , e o deslocamento 12pivarepsilon0,e^2v0,a;ll;m,v0 Longrightarrow e^24pivarepsilon0,a ;ll;12,m,v0^2 .
Impor
Substituindo , vem
E essa é exatamente a condição de que a energia potencial elétrica na distância ,
, seja muito menor que a energia cinética .

Resposta

  1. Impulso:
I=12pivarepsilon0,e^2v0,a
  1. Momento final:
pperp=I, Ek=12ml(12pivarepsilon0e^2v0,ar)^2
  1. Condição de validade:
e^24pivarepsilon0,a;ll;12,m,v0^2

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