P4.145 Desprezando o atrito e o raio da polia, determine (a) a tração no cabo ADB, (b) a reação em C.
Passo 1
O que o problema pede:
- (a) determinar a tração no cabo
; - (b) determinar a reação em
.
Informações dadas (peguei da figura enviada):
- Há uma carga concentrada para baixo de
localizada a partir de . - Distâncias ao longo da viga (todas em relação a
): -
até o ponto da carga: . -
até : (ou seja, ). -
até : . - Logo,
até : .
-
- A polia superior
está acima do eixo da viga (ou seja, a distância vertical entre a viga e é ). - O cabo vai de
até e de até (polia sem atrito), portanto a tração é a mesma nos dois ramos do cabo; chamo essa tração de . - A viga está apoiada em
(reação a determinar).
Passo 2
Plano de resolução e princípios que usarei (explicação didática):
- Para um corpo rígido em equilíbrio estático vale:
onde e são as somas vetoriais das componentes das forças nas direções horizontal e vertical, e é a soma dos momentos (torques) em torno de um ponto. - Aqui as incógnitas são a tração
e a reação em , que tem duas componentes: (horizontal) e (vertical). - Estratégia prática (muito usada em prova): tomar momento em torno de
. Isso elimina e das equações de momento, permitindo calcular diretamente apenas com base nos momentos das forças aplicadas nos pontos , e no carregamento de . - Para usar as forças que o cabo aplica em
e é preciso decompor a tração em componentes horizontal e vertical. As componentes dependem da geometria (ângulos formados pelo cabo): - Se uma barra do cabo vai da posição horizontal
até o ponto que está acima da viga, então para esse ramo: - As componentes da tração são então
(vertical, sentido para cima porque a tração puxa para ) e (horizontal, sentido para a direita, em direção à parede).
- Se uma barra do cabo vai da posição horizontal
- Vou calcular primeiro os senos e cossenos dos dois ramos
e usando as distâncias horizontais: - Distância horizontal de
até a parede (posição vertical de ) = . - Distância horizontal de
até a parede = .
- Distância horizontal de
- Calculemos os senos e cossenos com as relações pitagóricas (faça isso na prova sem calculadora quando os triângulos forem inteiros, como aqui).
Cálculo dos parâmetros trigonométricos:
- Para o ramo
: Logo - Para o ramo
: Logo
Passo 3
Equilíbrio de momentos em relação a
(para encontrar
):
- Vamos tomar os momentos causados pelas componentes verticais das tensões em
e e pelo peso . Como as componentes horizontais atuam ao longo da linha da viga (mesma altura), elas não produzem momento em torno de (braço vertical nulo). - Braços horizontais (distâncias da linha de ação até
):
- Somando momentos (escolhendo sentido positivo o dos componentes verticais das tensões que tendem a girar a viga no sentido anti-horário):
- Substituindo os valores de
e : - Calcule passo a passo:
Passo 4
Determinar a reação em
usando as equações de equilíbrio de forças.
- Equilíbrio vertical (
, tomando para cima positivo): Substituindo e os senos: Calcule:
O sinal negativo indica que a reação vertical em
é dirigida para baixo e tem módulo
.
- Equilíbrio horizontal (
, tomando para a direita positivo):
As componentes horizontais das tração eme puxam a viga para a direita: (coloquei no mesmo sinal convênio; isolando dá com sinal positivo para a direita — nos cálculos abaixo observo o sentido final).
Substituindo:Calcule:
Interpretação do sinal: como as componentes das tensões puxam para a direita com
no total, a reação do apoio
sobre a viga deve exercer
para a esquerda; escrevendo o vetor de reação com convenção “positivo para a direita/para cima”, temos
.
- Módulo e direção do vetor reação em
: Ângulo em relação ao eixo horizontal (medido a partir da direção positiva para baixo/para esquerda): Isso significa que a reação aponta essencialmente para a esquerda com um pequeno componente para baixo.
Passo 5
Resumo conceitual rápido (para lembrar na prova):
- Escolher o ponto para somar momentos que elimine incógnitas é a técnica que economiza contas (aqui escolhemos
). - Decompor as tensões em senos/cossenos usando as distâncias horizontais e a altura
foi chave para obter componentes simples (frações exatas aparecendo: ). - Depois de obter
, usar e dá as componentes da reação em .
Resposta
(a)
(b)
(ou seja,
para a esquerda e
para baixo);
a
abaixo da horizontal.