P4.145 Desprezando o atrito e o raio da polia, determine (a) a tração no cabo ADB, (b) a reação em C.

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) determinar a tração no cabo A D B;
  • (b) determinar a reação em C.
Informações dadas (peguei da figura enviada):
  • Há uma carga concentrada para baixo de 120\\ \text{N} localizada 80\\ \text{mm} a partir de A.
  • Distâncias ao longo da viga (todas em relação a A):
    • A até o ponto da carga: 80\\ \text{mm}.
    • A até B: 160\\ \text{mm} (ou seja, 80+80\\ \text{mm}).
    • B até C: 200\\ \text{mm}.
    • Logo, A até C: 360\\ \text{mm}.
  • A polia superior D está 150\\ \text{mm} acima do eixo da viga (ou seja, a distância vertical entre a viga e D é 150\\ \text{mm}).
  • O cabo vai de A até D e de D até B (polia sem atrito), portanto a tração é a mesma nos dois ramos do cabo; chamo essa tração de T.
  • A viga está apoiada em C (reação a determinar).

Passo 2

Plano de resolução e princípios que usarei (explicação didática):
  • Para um corpo rígido em equilíbrio estático vale: \sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M = 0,onde \sum F_x e \sum F_y são as somas vetoriais das componentes das forças nas direções horizontal e vertical, e \sum M é a soma dos momentos (torques) em torno de um ponto.
  • Aqui as incógnitas são a tração T e a reação em C, que tem duas componentes: C_x (horizontal) e C_y (vertical).
  • Estratégia prática (muito usada em prova): tomar momento em torno de C. Isso elimina C_x e C_y das equações de momento, permitindo calcular T diretamente apenas com base nos momentos das forças aplicadas nos pontos A, B e no carregamento de 120\\ \text{N}.
  • Para usar as forças que o cabo aplica em A e B é preciso decompor a tração T em componentes horizontal e vertical. As componentes dependem da geometria (ângulos formados pelo cabo):
    • Se uma barra do cabo vai da posição horizontal x até o ponto D que está 150\\ \text{mm} acima da viga, então para esse ramo: \sin\theta=\frac{150}{\sqrt{(\text{distância horizontal})^2+150^2}},\qquad \cos\theta=\frac{\text{distância horizontal}}{\sqrt{(\text{distância horizontal})^2+150^2}}.âââ
    • As componentes da tração são então T\sin\theta (vertical, sentido para cima porque a tração puxa para D) e T\cos\theta (horizontal, sentido para a direita, em direção à parede).
  • Vou calcular primeiro os senos e cossenos dos dois ramos A\!-\!D e B\!-\!D usando as distâncias horizontais:
    • Distância horizontal de A até a parede (posição vertical de D) = 360\\ \text{mm}.
    • Distância horizontal de B até a parede = 200\\ \text{mm}.
  • Calculemos os senos e cossenos com as relações pitagóricas (faça isso na prova sem calculadora quando os triângulos forem inteiros, como aqui).
Cálculo dos parâmetros trigonométricos:
  • Para o ramo A\!-\!D: \text{hipotenusa}_{A}=\sqrt{360^2+150^2}=\sqrt{129600+22500}=\sqrt{152100}=390.Logo \sin\theta_A=\frac{150}{390}=\frac{5}{13},\qquad \cos\theta_A=\frac{360}{390}=\frac{12}{13}.
  • Para o ramo B\!-\!D: \text{hipotenusa}_{B}=\sqrt{200^2+150^2}=\sqrt{40000+22500}=\sqrt{62500}=250.Logo \sin\theta_B=\frac{150}{250}=\frac{3}{5},\qquad \cos\theta_B=\frac{200}{250}=\frac{4}{5}.

Passo 3

Equilíbrio de momentos em relação a C (para encontrar T):
  • Vamos tomar os momentos causados pelas componentes verticais das tensões em A e B e pelo peso 120\\ \text{N}. Como as componentes horizontais atuam ao longo da linha da viga (mesma altura), elas não produzem momento em torno de C (braço vertical nulo).
  • Braços horizontais (distâncias da linha de ação até C): \text{braço de }A\text{ em relação a }C = 360\\ \text{mm}, \qquad \text{braço de }B\text{ em relação a }C = 200\\ \text{mm},ççãççã
\text{braço da carga }120\\ \text{N} \text{ em relação a }C = 360-80=280\\ \text{mm}.ççã
  • Somando momentos (escolhendo sentido positivo o dos componentes verticais das tensões que tendem a girar a viga no sentido anti-horário): T\sin\theta_A\cdot 360 + T\sin\theta_B\cdot 200 - 120\cdot 280 = 0.
  • Substituindo os valores de \sin\theta_A e \sin\theta_B: T\left(360\cdot\frac{5}{13} + 200\cdot\frac{3}{5}\right) = 120\cdot 280.
  • Calcule passo a passo: 360\cdot\frac{5}{13}=\frac{1800}{13},\qquad 200\cdot\frac{3}{5}=120,
\frac{1800}{13}+120=\frac{1800+1560}{13}=\frac{3360}{13}.
T\cdot\frac{3360}{13}=120\cdot280=33600.
T=33600\cdot\frac{13}{3360}=13\cdot10=130\\ \text{N}.

Passo 4

Determinar a reação em C usando as equações de equilíbrio de forças.
  • Equilíbrio vertical ( \sum F_y=0, tomando para cima positivo): C_y + T\sin\theta_A + T\sin\theta_B - 120 = 0.Substituindo T=130\\ \text{N} e os senos: C_y + 130\cdot\frac{5}{13} + 130\cdot\frac{3}{5} - 120 = 0.Calcule: 130\cdot\frac{5}{13}=10\cdot5=50,\qquad 130\cdot\frac{3}{5}=26\cdot3=78.
C_y + 50 + 78 -120 =0 \quad\Rightarrow\quad C_y +8 =0 \quad\Rightarrow\quad C_y = -8\\ \text{N}.
O sinal negativo indica que a reação vertical em C é dirigida para baixo e tem módulo 8\\ \text{N}.
  • Equilíbrio horizontal ( \sum F_x=0, tomando para a direita positivo):
    As componentes horizontais das tração em A e B puxam a viga para a direita: C_x - T\cos\theta_A - T\cos\theta_B = 0.(coloquei C_x no mesmo sinal convênio; isolando C_x C_x = T(\cos\theta_A+\cos\theta_B) com sinal positivo para a direita — nos cálculos abaixo observo o sentido final).
    Substituindo: C_x = 130\left(\frac{12}{13} + \frac{4}{5}\right).Calcule: 130\cdot\frac{12}{13}=10\cdot12=120,\qquad 130\cdot\frac{4}{5}=26\cdot4=104.
C_x = 120+104=224\\ \text{N}.
Interpretação do sinal: como as componentes das tensões puxam para a direita com 224\\ \text{N} no total, a reação do apoio C sobre a viga deve exercer 224\\ \text{N} para a esquerda; escrevendo o vetor de reação com convenção “positivo para a direita/para cima”, temos C_x=-224\\ \text{N}.
  • Módulo e direção do vetor reação em C: R_C=\sqrt{C_x^2+C_y^2}=\sqrt{(-224)^2+(-8)^2}=\sqrt{50176+64}=\sqrt{50240}\approx224{,}14\\ \text{N}.Ângulo em relação ao eixo horizontal (medido a partir da direção positiva \!+\!x para baixo/para esquerda): \alpha=\arctan\!\left(\frac{|C_y|}{|C_x|}\right)=\arctan\!\left(\frac{8}{224}\right)\approx 2{,}05^\circ.Isso significa que a reação aponta essencialmente para a esquerda com um pequeno componente para baixo.

Passo 5

Resumo conceitual rápido (para lembrar na prova):
  • Escolher o ponto para somar momentos que elimine incógnitas é a técnica que economiza contas (aqui escolhemos C).
  • Decompor as tensões em senos/cossenos usando as distâncias horizontais e a altura 150\\ \text{mm} foi chave para obter componentes simples (frações exatas aparecendo: 5/13,12/13,3/5,4/5).
  • Depois de obter T, usar \sum F_x=0 e \sum F_y=0 dá as componentes da reação em C.

Resposta

(a) T=130\\ \text{N}
(b) C_x=-224\\ \text{N},\; C_y=-8\\ \text{N} (ou seja, 224\\ \text{N} para a esquerda e 8\\ \text{N} para baixo); R_C\approx224{,}14\\ \text{N} a 2{,}05^\circ abaixo da horizontal.

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