4.35 Uma haste leve é suportada sem atrito por cavilhas em B e C e apoia sem atrito na parede em A. A força vertical de 480 N é aplicada em D. Determine as reações em A, B e C.

Passo 1

O enunciado e a figura nos dão as seguintes informações (peguei estes dados da imagem):
  • A haste é leve (sem peso próprio relevante).
  • Há uma força vertical para baixo de 480\\ \text{N} aplicada em D.
  • As distâncias ao longo da haste (medidas ao longo da própria haste) são:
    • AB=200\\ \text{mm},
    • BC=200\\ \text{mm},
    • CD=200\\ \text{mm}.
      Logo, AD=600\\ \text{mm} e os pontos B e C ficam a 200\\ \text{mm} e 400\\ \text{mm} de A, respectivamente.
  • A haste faz um ângulo de 30^\circ com a parede vertical em A. Portanto a haste faz um ângulo de 60^\circ com a horizontal.
  • O contato em A com a parede é sem atrito (superfície lisa), logo a reação em A é normal à parede, ou seja, puramente horizontal.
  • As cavilhas em B e C suportam a haste sem atrito. Em contato sem atrito entre um pino/cavilha e uma barra, a reação atua normal à haste (isto é, perpendicular à barra) no ponto de contato. Vou tomar as reações em B e C atuando na direção normal à haste (sentido assumido: para cima-esquerda).
O que o problema pede: determinar as reações em A, B e C (magnitudes e direções).

Passo 2

Escolha de incógnitas e sistema de coordenadas.
  • Adoto eixos cartesianos: x horizontal para a direita, y vertical para cima.
  • Ângulo da haste com a horizontal: \alpha=60^\circ.
  • Defino incógnitas:
    • H = reação em A (somente componente horizontal, positiva para a direita).
    • R_B = magnitude da reação em B, assumida inicialmete dirigida perpendicular à haste para cima-esquerda.
    • R_C = magnitude da reação em C, assumida inicialmente também perpendicular à haste para cima-esquerda.
  • Posicionamento (distância ao longo da haste a partir de A):
    • s_B=200\\ \text{mm},
    • s_C=400\\ \text{mm},
    • s_D=600\\ \text{mm}.
Observação importante sobre sinal: se uma reação for negativa ao final, significa que a direção real é oposta à direção assumida.

Passo 3

Expressar as componentes das reações em termos das magnitudes R_B e R_C.
A unidade vetorial normal à haste (assumida no sentido up-left) tem componentes
\mathbf{n}=(-\cos 30^\circ,\;\sin 30^\circ)=\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;\tfrac{1}{2}\Bigr).
Logo, os componentes das reações são
\begin{aligned} R_{B_x}&=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,R_B, & R_{B_y}&=\tfrac{1}{2}\,R_B,\\[4pt] R_{C_x}&=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,R_C, & R_{C_y}&=\tfrac{1}{2}\,R_C. \end{aligned}
A força externa em D é (0,\,-480\\ \text{N}).
A reação em A é (H,\,0).]

Passo 4

Equações de equilíbrio de forças (translação).
Somatório das forças horizontais ( \sum F_x=0):
H - \tfrac{\sqrt{3}}{2}R_B - \tfrac{\sqrt{3}}{2}R_C = 0.
Somatório das forças verticais ( \sum F_y=0):
\tfrac{1}{2}R_B + \tfrac{1}{2}R_C - 480 = 0.
Da equação vertical podemos imediatamente simplificar:
\tfrac{1}{2}(R_B+R_C)=480 \quad\Rightarrow\quad R_B+R_C=960.\tag{1}
Da equação horizontal obtemos, isolando H,
H=\tfrac{\sqrt{3}}{2}(R_B+R_C).\tag{2}

Passo 5

Equação de equilíbrio de momentos (rotação). Vou tomar momentos em torno de A (eixo perpendicular ao plano).
Explicação didática: o momento de uma força normal à haste aplicada a uma distância s ao longo da haste (a partir de A) simplifica-se para M=s\cdot R. Isso pode ser verificado explicitamente usando coordenadas: para um ponto na haste com r=(x,y)=(s\cos\alpha,\;s\sin\alpha) e força F=R\mathbf{n}=R(-\cos30^\circ,\sin30^\circ) a expressão M = xF_y - yF_x reduz-se a sR. É uma consequência geométrica útil sempre que a força for perpendicular à linha de ação medida por s.
Portanto, momentos das reações em B e C (pos/neg com sinal CCW positivo) e da força em D:
s_B R_B + s_C R_C - (\text{momento de }480\\ \text{N em }D)=0.
A contribuição da força de 480\\ \text{N} é
M_D = x_D\cdot(-480) = (s_D\cos 60^\circ)(-480) = -\tfrac{1}{2}s_D(480).
Colocando os sinais (momentos de B e C tendem a girar na direção oposta à de D) chegamos à equação numérica:
200\,R_B + 400\,R_C - 480\cdot 300 = 0.
(Na equação acima as distâncias estão em \text{mm}; isso é consistente pois todas as distâncias usadas são relativas entre si — unidades levam a \text{N}\cdot\text{mm}.)
Simplificando:
200R_B + 400R_C = 144000.\tag{3}

Passo 6

Resolver o sistema formado por (1) e (3).
Da (1): R_B=960-R_C. Substituir em (3):
200(960-R_C)+400R_C=144000.
Desenvolvendo:
192000 -200R_C +400R_C = 144000
192000 +200R_C =144000
200R_C =144000-192000 = -48000
R_C = -240\\ \text{N}.
O sinal negativo indica que a reação em C tem direção oposta à direção que havíamos assumido (ou seja, aponta para baixo-direita, em vez de para cima-esquerda).
Agora R_B=960-R_C = 960-(-240)=1200\\ \text{N}.

Passo 7

Calcular H (reação em A) a partir de (2).
Usando R_B+R_C=960 em (2):
H=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 960 = 480\sqrt{3}\\ \text{N}\approx 831,38\\ \text{N}.

Passo 8

Passar para componentes (para interpretação física) e checar equilíbrio.
Componentes de B (com R_B=1200\\ \text{N}):
\begin{aligned} R_{B_x} &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1200 = -600\sqrt{3}\\ \text{N}\approx -1039,23\\ \text{N},\\[4pt] R_{B_y} &= \tfrac{1}{2}\cdot 1200 = 600\\ \text{N}. \end{aligned}
Componentes de C (com R_C=-240\\ \text{N} — direção oposta à assumida, portanto magnitude 240\\ \text{N} e sentido down-right):
\begin{aligned} R_{C_x} &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-240) = +120\sqrt{3}\\ \text{N}\approx +207,85\\ \text{N},\\[4pt] R_{C_y} &= \tfrac{1}{2}\cdot(-240) = -120\\ \text{N}. \end{aligned}
Somatórios (cheque rápido):
\sum F_x = H + R_{B_x}+R_{C_x}=480\sqrt{3}-600\sqrt{3}+120\sqrt{3}=0,
\sum F_y = R_{B_y}+R_{C_y}-480=600-120-480=0.
Tudo confere.]

Passo 9

Interpretação física curta e incentivo.
  • A reação em A é puramente horizontal e vale 480\sqrt{3}\\ \text{N} (direita).
  • A reação em B é grande e dirigida aproximadamente para cima e para a esquerda (reação normal à haste): 1200\\ \text{N}.
  • A reação em C saiu negativa na direção assumida, isto é, o pino em C recebe uma reação de 240\\ \text{N} no sentido oposto ao assumido (para baixo e para a direita). Isso significa que, sob essa carga, a haste pressiona o pino C no sentido descendente e para a direita.
Vai dar certo na prova — você conseguiu acompanhar os passos fundamentais: decomposição, equações de equilíbrio, e interpretação dos sinais.

Resposta

A:\\ H=480\sqrt{3}\\ \text{N}\approx 831,38\\ \text{N} (horizontal, para a direita)
B:\\ R_B=1200\\ \text{N} (direção: perpendicular à haste, para cima-esquerda; componentes R_{B_x}=-600\sqrt{3}\\ \text{N}, R_{B_y}=600\\ \text{N})
C:\\ R_C=240\\ \text{N} (direção: perpendicular à haste, para baixo-direita; componentes R_{C_x}=120\sqrt{3}\\ \text{N}, R_{C_y}=-120\\ \text{N})

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