Na página 6 , vimos que y=\sqrt{4-x^{2}} e y=-\sqrt{4-x^{2}} são soluções para d y / d x=-x / y no intervalo (-2,2). Explique por que
y=\left\{\begin{array}{rr} \sqrt{4-x^{2}}, & -2<x<0 \\\\ -\sqrt{4-x^{2}}, & 0 \leq x<2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos lembra que as funções y=\sqrt{4-x^{2}}\) e \(y=-\sqrt{4-x^{2}}\) são soluções da equação diferencial \[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}
no intervalo (-2,2). A tarefa é explicar por que a função definida por partes
y(x)=\begin{cases} \sqrt{4-x^{2}}, & -2<x<0,\\[4pt] -\sqrt{4-x^{2}}, & 0\le x<2 \end{cases}
também merece atenção: devemos verificar se ela satisfaz a equação diferencial onde for apropriado e discutir seu comportamento no ponto (x=0].
Informações dadas e perguntas implícitas que vou responder:
  • A equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}.
  • Sabemos que as duas raízes y=\pm\sqrt{4-x^{2}} são soluções clássicas (cada uma em todo (-2,2)).
  • Mostrar explicitamente que, em cada parte do domínio, a função por partes satisfaz a equação diferencial.
  • Verificar o que acontece em x=0 (continuidade, diferenciabilidade) e concluir em que sentido a função é solução (em todo (-2,2) ou apenas em subintervalos).]

Passo 2

Verificação na parte esquerda (-2,0): nessa região a função coincide com a rama positiva
y(x)=\sqrt{4-x^{2}}\qquad\text{para }-2<x<0.
Calculemos a derivada usando regra da cadeia. Seja g(x)=4-x^{2} e h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}. Então y(x)=h(g(x)). Pelo cálculo:
\frac{dy}{dx}=h'(g(x))\cdot g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot(-2x)= -\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}.
Mas nessa parte temos y(x)=\sqrt{4-x^{2}}, então podemos escrever
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}=-\frac{x}{y(x)}.
Portanto, em todo ponto de (-2,0) a igualdade \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} é satisfeita: a rama positiva é solução ali.
(Comentário didático curto: a regra da cadeia diz que a derivada de \sqrt{4-x^2} é \tfrac{1}{2\sqrt{4-x^2}} vezes a derivada de 4-x^2, que é -2x; os fatores 2 e \tfrac{1}{2} se cancelam.)

Passo 3

Verificação na parte direita (0,2): nessa região a função coincide com a rama negativa
y(x)=-\sqrt{4-x^{2}}\qquad\text{para }0<x<2.
Derivando:
\frac{dy}{dx}=-\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{4-x^{2}}\bigr)=-\left(-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\right)=\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}.
Agora, como y(x)=-\sqrt{4-x^{2}} (ou seja, \sqrt{4-x^{2}}=-y(x)), temos
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\frac{x}{-y(x)}=-\frac{x}{y(x)}.
Logo, a rama negativa também satisfaz \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} em todo (0,2).

Passo 4

Combinando os passos anteriores: em (-2,0) a função por partes é exatamente a solução y=\sqrt{4-x^{2}} e, em (0,2), é exatamente a solução y=-\sqrt{4-x^{2}}. Em ambas as partes a equação diferencial é satisfeita ponto a ponto, porque o cálculo da derivada em cada tramo dá -x/y.

Passo 5

Análise no ponto x=0: avaliar continuidade e diferenciabilidade aí.
  • Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to0^-}y(x)=\sqrt{4-0}=2.
  • Valor em 0 (pela definição da parte direita): y(0)=-\sqrt{4-0}=-2.
    Portanto a função tem um salto em x=0: o limite esquerdo é 2 e o valor (ou limite direito) é -2. Assim a função não é contínua em x=0 e, consequentemente, não é diferenciável em x=0.
Observação extra: as derivadas laterais existem e valem 0 em ambos os lados (porque -x/\sqrt{4-x^{2}} e \;x/\sqrt{4-x^{2}} avaliam 0 em x=0), mas isso não elimina a descontinuidade do valor de y em 0; derivada só é definida quando a função é contínua naquele ponto.

Passo 6

Interpretação final à luz da definição de “solução”: a definição usual exige que uma solução seja uma função diferenciável em todo o intervalo considerado e que satisfaça a equação em todos os pontos desse intervalo. A função por partes acima satisfaz a equação diferencial em todo ponto de (-2,2) exceto em x=0 (porque aí não é diferenciável). Portanto:
  • A função é solução em cada subintervalo aberto (-2,0) e (0,2).
  • Não é solução no sentido clássico em todo o intervalo (-2,2), pois falha a diferenciabilidade (e continuidade) em x=0.
Comentário sobre unicidade: a equação \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} admite as duas soluções contínuas +\sqrt{4-x^2} e -\sqrt{4-x^2} em todo (-2,2). O teorema de unicidade, aplicado a uma condição inicial em x=0 com y(0)=2 (ou y(0)=-2), garantiria que a solução que passa por esse ponto é única numa vizinhança. A função por partes “troca” de ramo em x=0, o que implica que ela não corresponde a uma única condição inicial em x=0 e é, por isso, incompatível com a exigência de ser uma única solução diferenciável em todo (-2,2).

Resposta

A função coincide com y=\sqrt{4-x^{2}} em (-2,0) e com y=-\sqrt{4-x^{2}} em (0,2); em cada um desses subintervalos a derivada calculada dá \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}, logo a equação é satisfeita ponto a ponto em (-2,0) e em (0,2). Porém há um salto em x=0 (limite esquerdo 2, valor/direito -2), portanto a função não é contínua nem diferenciável em x=0 e, assim, não é solução clássica em todo (-2,2); ela é solução em (-2,2)\setminus\{0\} (isto é, em cada um dos dois tramos abertos).

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