também merece atenção: devemos verificar se ela satisfaz a equação diferencial onde for apropriado e discutir seu comportamento no ponto (x=0].
Informações dadas e perguntas implícitas que vou responder:
A equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}.
Sabemos que as duas raízes y=\pm\sqrt{4-x^{2}} são soluções clássicas (cada uma em todo (-2,2)).
Mostrar explicitamente que, em cada parte do domínio, a função por partes satisfaz a equação diferencial.
Verificar o que acontece em x=0 (continuidade, diferenciabilidade) e concluir em que sentido a função é solução (em todo (-2,2) ou apenas em subintervalos).]
Passo 2
Verificação na parte esquerda (-2,0): nessa região a função coincide com a rama positiva
y(x)=\sqrt{4-x^{2}}\qquad\text{para }-2<x<0.
Calculemos a derivada usando regra da cadeia. Seja g(x)=4-x^{2} e h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}. Então y(x)=h(g(x)). Pelo cálculo:
Portanto, em todo ponto de (-2,0) a igualdade \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} é satisfeita: a rama positiva é solução ali.
(Comentário didático curto: a regra da cadeia diz que a derivada de \sqrt{4-x^2} é \tfrac{1}{2\sqrt{4-x^2}} vezes a derivada de 4-x^2, que é -2x; os fatores 2 e \tfrac{1}{2} se cancelam.)
Passo 3
Verificação na parte direita (0,2): nessa região a função coincide com a rama negativa
Logo, a rama negativa também satisfaz \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} em todo (0,2).
Passo 4
Combinando os passos anteriores: em (-2,0) a função por partes é exatamente a solução y=\sqrt{4-x^{2}} e, em (0,2), é exatamente a solução y=-\sqrt{4-x^{2}}. Em ambas as partes a equação diferencial é satisfeita ponto a ponto, porque o cálculo da derivada em cada tramo dá -x/y.
Passo 5
Análise no ponto x=0: avaliar continuidade e diferenciabilidade aí.
Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to0^-}y(x)=\sqrt{4-0}=2.
Valor em 0 (pela definição da parte direita): y(0)=-\sqrt{4-0}=-2.
Portanto a função tem um salto em x=0: o limite esquerdo é 2 e o valor (ou limite direito) é -2. Assim a função não é contínua em x=0 e, consequentemente, não é diferenciável em x=0.
Observação extra: as derivadas laterais existem e valem 0 em ambos os lados (porque -x/\sqrt{4-x^{2}} e \;x/\sqrt{4-x^{2}} avaliam 0 em x=0), mas isso não elimina a descontinuidade do valor de y em 0; derivada só é definida quando a função é contínua naquele ponto.
Passo 6
Interpretação final à luz da definição de “solução”: a definição usual exige que uma solução seja uma função diferenciável em todo o intervalo considerado e que satisfaça a equação em todos os pontos desse intervalo. A função por partes acima satisfaz a equação diferencial em todo ponto de (-2,2) exceto em x=0 (porque aí não é diferenciável). Portanto:
A função é solução em cada subintervalo aberto (-2,0) e (0,2).
Não é solução no sentido clássico em todo o intervalo (-2,2), pois falha a diferenciabilidade (e continuidade) em x=0.
Comentário sobre unicidade: a equação \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y} admite as duas soluções contínuas +\sqrt{4-x^2} e -\sqrt{4-x^2} em todo (-2,2). O teorema de unicidade, aplicado a uma condição inicial em x=0 com y(0)=2 (ou y(0)=-2), garantiria que a solução que passa por esse ponto é única numa vizinhança. A função por partes “troca” de ramo em x=0, o que implica que ela não corresponde a uma única condição inicial em x=0 e é, por isso, incompatível com a exigência de ser uma única solução diferenciável em todo (-2,2).
Resposta
A função coincide com y=\sqrt{4-x^{2}} em (-2,0) e com y=-\sqrt{4-x^{2}} em (0,2); em cada um desses subintervalos a derivada calculada dá \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}, logo a equação é satisfeita ponto a ponto em (-2,0) e em (0,2). Porém há um salto em x=0 (limite esquerdo 2, valor/direito -2), portanto a função não é contínua nem diferenciável em x=0 e, assim, não é solução clássica em todo (-2,2); ela é solução em (-2,2)\setminus\{0\} (isto é, em cada um dos dois tramos abertos).