Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para
Mostre que a relação
define uma solução singular para a equação no intervalo $(-1,1).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Verificar que a família a um parâmetro
é uma família de soluções da equação diferencial
- Mostrar que a relação
define uma solução singular dessa equação no intervalo .
Informações/dados fornecidos:
- A equação diferencial dada é
. - A família candidata de soluções é
, com parâmetro real. - Deve-se também identificar e justificar a solução singular e o intervalo onde ela é válida.
Passo 2
Vamos primeiro verificar diretamente que cada função da família é, de fato, solução. Tome a função candidata
onde
é uma constante (parâmetro). Calcule a derivada
. Como
é constante, a derivada é
Isto significa que, para essa função, a derivada é constante igual a
.
Passo 3
Substitua
e
na equação diferencial e verifique se a identidade se mantém. A equação pede
Usando
e
, o lado direito fica
Esse é exatamente o valor do lado esquerdo
. Logo, a igualdade é verdadeira para todo
. Portanto cada função da família é solução da equação diferencial.
Passo 4
Comentário didático curto sobre o método: esta equação tem a forma clássica
com
e
. Quando uma ED tem essa forma (é uma equação do tipo Clairaut generalizado), qualquer função linear em
com coeficiente
e termo constante
fornece uma solução do tipo
. Isso é exatamente o que acabamos de verificar.
Passo 5
Agora vamos encontrar a solução singular (envelope) da família. Para achar o envelope da família
(com
), usa-se a condição de envelope obtida eliminando o parâmetro
entre
e
A segunda equação dá a condição de tangência (pelo envelope): diferenciar em relação a
mantendo
fixo.
Passo 6
Calcule a derivada em
:
Aqui
. Vamos calcular
:
Logo a condição de envelope é
Passo 7
Isolando
obtemos a relação entre
e o parâmetro
no envelope:
A partir daqui podemos expressar
no envelope substituindo esse
na fórmula
. Faça a substituição:
Passo 8
Agora temos as coordenadas paramétricas do envelope em função de
:
Vamos eliminar
para obter uma relação entre
e
. Calcule
:
Portanto o envelope satisfaz
Passo 9
Interpretação: a eliminação do parâmetro mostra que o envelope da família
é a curva dada por
Observe que, pela expressão
, o envelope obtido corresponde à semicircunferência superior
com
variando estritamente entre
e
. Assim o envelope é definido no intervalo aberto
.
Passo 10
Para confirmar que essa curva é, de fato, solução da equação diferencial, podemos derivá-la implicitamente e verificar a equação. A semicircunferência superior é
(com
). Diferenciando implicitamente
obtemos
Substituindo esse
na equação original
temos:
-
- Calcule
, já que aqui .
Somando,
Logo a igualdade da equação diferencial é satisfeita ponto a ponto na semicircunferência superior.
Passo 11
Por que essa solução é chamada de singular? Em problemas do tipo
a família geral
fornece soluções reta por reta. O envelope é uma curva que é tangente a cada reta da família em um ponto (o parâmetro
seleciona a reta tangente). Essa curva não é obtida por escolher um único valor fixo de
— ou seja, ela não pertence à família
para nenhum
fixo; em vez disso, em cada ponto da curva o parâmetro
que produz a reta tangente é diferente (tem relação
). Portanto a semicircunferência superior é uma solução singular (é envelope da família de soluções regulares).
Passo 12
Finalmente, explicitar o intervalo
: a fórmula
toma todos os valores estritamente entre
e
quando
varia em
. O valor de
é sempre positivo, portanto a solução singular relevante para a equação é a semicircunferência superior
Isto mostra tanto que a relação
(ramo superior) é solução, quanto que ela é singular (envelope) da família
.