Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para
y=x y^{\prime}+\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}} \text { é } y=c x+\sqrt{1+c^{2}} .é
Mostre que a relação x^{2}+y^{2}=1 define uma solução singular para a equação no intervalo $(-1,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Verificar que a família a um parâmetro
y = c x + \sqrt{1+c^{2}}
é uma família de soluções da equação diferencial
y = x y' + \sqrt{1+(y')^{2}}.
  • Mostrar que a relação \,x^{2}+y^{2}=1 define uma solução singular dessa equação no intervalo (-1,1).
Informações/dados fornecidos:
  • A equação diferencial dada é \,y = x y' + \sqrt{1+(y')^{2}}\,.
  • A família candidata de soluções é \,y = c x + \sqrt{1+c^{2}}\,, com c parâmetro real.
  • Deve-se também identificar e justificar a solução singular e o intervalo onde ela é válida.

Passo 2

Vamos primeiro verificar diretamente que cada função da família é, de fato, solução. Tome a função candidata
y(x)=c x+\sqrt{1+c^{2}},
onde c é uma constante (parâmetro). Calcule a derivada y'(x). Como c é constante, a derivada é
y'(x)=c.
Isto significa que, para essa função, a derivada é constante igual a c.

Passo 3

Substitua y e y' na equação diferencial e verifique se a identidade se mantém. A equação pede
y \stackrel{?}{=} x y' + \sqrt{1+(y')^{2}}.
Usando y=cx+\sqrt{1+c^{2}} e y'=c, o lado direito fica
x y' + \sqrt{1+(y')^{2}} = x\cdot c + \sqrt{1+c^{2}}.
Esse é exatamente o valor do lado esquerdo y=cx+\sqrt{1+c^{2}}. Logo, a igualdade é verdadeira para todo x. Portanto cada função da família é solução da equação diferencial.

Passo 4

Comentário didático curto sobre o método: esta equação tem a forma clássica
y = x p + f(p),
com p=y' e f(p)=\sqrt{1+p^{2}}. Quando uma ED tem essa forma (é uma equação do tipo Clairaut generalizado), qualquer função linear em x com coeficiente p=c e termo constante f\text{(c)} fornece uma solução do tipo y=cx+f\text{(c)}. Isso é exatamente o que acabamos de verificar.

Passo 5

Agora vamos encontrar a solução singular (envelope) da família. Para achar o envelope da família \,y(x;c)=c x + f\text{(c)} (com f\text{(c)}=\sqrt{1+c^{2}}), usa-se a condição de envelope obtida eliminando o parâmetro c entre
y = c x + f\text{(c)}
e
\frac{\partial}{\partial c}\bigl(c x + f\text{(c)}\bigr)=0.
A segunda equação dá a condição de tangência (pelo envelope): diferenciar em relação a c mantendo x fixo.

Passo 6

Calcule a derivada em c:
\frac{\partial}{\partial c}\bigl(c x + f\text{(c)}\bigr) = x + f'\text{(c)}.
Aqui f\text{(c)}=\sqrt{1+c^{2}}. Vamos calcular f'\text{(c)}:
f'\text{(c)}=\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}.
Logo a condição de envelope é
x + \frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}=0.

Passo 7

Isolando x obtemos a relação entre x e o parâmetro c no envelope:
x = -\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}.
A partir daqui podemos expressar y no envelope substituindo esse x na fórmula y=cx+\sqrt{1+c^{2}}. Faça a substituição:
y = c\left(-\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}\right)+\sqrt{1+c^{2}} = -\frac{c^{2}}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1+c^{2}}{\sqrt{1+c^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}.

Passo 8

Agora temos as coordenadas paramétricas do envelope em função de c:
x\text{(c)} = -\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}},\qquad y\text{(c)}=\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}.
Vamos eliminar c para obter uma relação entre x e y. Calcule x\text{(c)}^{2}+y\text{(c)}^{2}:
x\text{(c)}^{2}+y\text{(c)}^{2}=\frac{c^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}=\frac{c^{2}+1}{1+c^{2}}=1.
Portanto o envelope satisfaz
x^{2}+y^{2}=1.

Passo 9

Interpretação: a eliminação do parâmetro mostra que o envelope da família y=cx+\sqrt{1+c^{2}} é a curva dada por
x^{2}+y^{2}=1.
Observe que, pela expressão y\text{(c)}=1/\sqrt{1+c^{2}}>0, o envelope obtido corresponde à semicircunferência superior y=\sqrt{1-x^{2}} com x variando estritamente entre -1 e 1. Assim o envelope é definido no intervalo aberto (-1,1).

Passo 10

Para confirmar que essa curva é, de fato, solução da equação diferencial, podemos derivá-la implicitamente e verificar a equação. A semicircunferência superior é y=\sqrt{1-x^{2}} (com y>0). Diferenciando implicitamente x^{2}+y^{2}=1 obtemos
2x+2y y'=0 \quad\Rightarrow\quad y'=-\frac{x}{y}.
Substituindo esse y' na equação original \,y = x y' + \sqrt{1+(y')^{2}}\, temos:
  • x y' = x\cdot\left(-\dfrac{x}{y}\right) = -\dfrac{x^{2}}{y}.
  • Calcule \sqrt{1+(y')^{2}}=\sqrt{1+\dfrac{x^{2}}{y^{2}}}=\sqrt{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{y^{2}}}=\dfrac{1}{y}, já que aqui y>0.
    Somando,
x y' + \sqrt{1+(y')^{2}} = -\frac{x^{2}}{y} + \frac{1}{y} = \frac{1-x^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y}=y.
Logo a igualdade da equação diferencial é satisfeita ponto a ponto na semicircunferência superior.

Passo 11

Por que essa solução é chamada de singular? Em problemas do tipo y=x p + f(p) a família geral y=cx+f\text{(c)} fornece soluções reta por reta. O envelope é uma curva que é tangente a cada reta da família em um ponto (o parâmetro c seleciona a reta tangente). Essa curva não é obtida por escolher um único valor fixo de c — ou seja, ela não pertence à família y=cx+f\text{(c)} para nenhum c fixo; em vez disso, em cada ponto da curva o parâmetro c que produz a reta tangente é diferente (tem relação c=-x/\sqrt{1-x^{2}}). Portanto a semicircunferência superior é uma solução singular (é envelope da família de soluções regulares).

Passo 12

Finalmente, explicitar o intervalo (-1,1): a fórmula x\text{(c)}=-\dfrac{c}{\sqrt{1+c^{2}}} toma todos os valores estritamente entre -1 e 1 quando c varia em \mathbb{R}. O valor de y\text{(c)}=1/\sqrt{1+c^{2}} é sempre positivo, portanto a solução singular relevante para a equação é a semicircunferência superior
y=\sqrt{1-x^{2}},\qquad x\in(-1,1).
Isto mostra tanto que a relação x^{2}+y^{2}=1 (ramo superior) é solução, quanto que ela é singular (envelope) da família y=cx+\sqrt{1+c^{2}}.

Resposta

y = c x + \sqrt{1+c^{2}}\newline
x^{2}+y^{2}=1,\\ \text{com }y>0\text{ (ou seja }y=\sqrt{1-x^{2}}\text{) para }x\in(-1,1)

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