Um pai de massa mp e sua filha de massa mf estão sentados em extremidades opostas de uma gangorra a distâncias iguais do pino no centro. A gangorra é considera uma haste rígida de massa M e comprimento l, e articulada sem atrito. Em um determinado instante, a combinação gira no plano vertical com velocidade angular omega. (a) Encontre uma expressão para o módulo do momento angular do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um pai e uma filha sentados em uma gangorra que está girando. A massa do pai é , a da filha é , e a gangorra tem massa e comprimento . Queremos encontrar uma expressão para o módulo do momento angular desse sistema. Vamos precisar de conceitos de momento de inércia e momento angular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o momento angular ( L = I cdot omega ) de um sistema em rotação é dado pelo produto do momento de inércia ( ) pela velocidade angular ( ):
Então, nosso primeiro passo é calcular o momento de inércia total do sistema.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia de cada componente:
  1. Pai e filha: Eles estão nas extremidades da gangorra, a uma distância Ipessoa = m cdot r^2 = m cdot (l2)^2 do pino. O momento de inércia de cada um é:
Ihaste = 112 M l^2
Onde é a massa (do pai ou da filha) e é a distância ao pino.
  1. Gangorra (haste rígida): Para uma haste rígida girando em torno de seu centro, o momento de inércia é:

Passo 4

Agora, somamos os momentos de inércia de todas as partes para obter o momento de inércia total ( Itotal = Ipai + Ifilha + Ihaste ):
Itotal = mp (l2)^2 + mf (l2)^2 + 112 M l^2
Substituindo os valores:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Itotal = (mp + mf) (l^24) + 112 M l^2
Itotal = l^24 (mp + mf) + 112 M l^2

Passo 6

Agora, podemos fatorar Itotal = l^2 ( mp + mf4 + M12 ) :
Itotal = l^2 ( 3(mp + mf) + M12 )
Para simplificar ainda mais:

Passo 7

Agora que temos o momento de inércia total, podemos calcular o momento angular usando L = l^2 ( 3(mp + mf) + M12 ) cdot omega :

Resposta

A expressão para o módulo do momento angular do sistema é:
L = l^2 [ 3(mp + mf) + M ] omega12

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