Um pai de massa
e sua filha de massa
estão sentados em extremidades opostas de uma gangorra a distâncias iguais do pino no centro. A gangorra é considera uma haste rígida de massa
e comprimento
, e articulada sem atrito. Em um determinado instante, a combinação gira no plano vertical com velocidade angular
. (a) Encontre uma expressão para o módulo do momento angular do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um pai e uma filha sentados em uma gangorra que está girando. A massa do pai é
, a da filha é
, e a gangorra tem massa
e comprimento
. Queremos encontrar uma expressão para o módulo do momento angular desse sistema. Vamos precisar de conceitos de momento de inércia e momento angular para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o momento angular (
) de um sistema em rotação é dado pelo produto do momento de inércia (
) pela velocidade angular (
):
Então, nosso primeiro passo é calcular o momento de inércia total do sistema.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia de cada componente:
- Pai e filha: Eles estão nas extremidades da gangorra, a uma distância
do pino. O momento de inércia de cada um é:
Onde
é a massa (do pai ou da filha) e
é a distância ao pino.
- Gangorra (haste rígida): Para uma haste rígida girando em torno de seu centro, o momento de inércia é:
Passo 4
Agora, somamos os momentos de inércia de todas as partes para obter o momento de inércia total (
):
Substituindo os valores:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, podemos fatorar
:
Para simplificar ainda mais:
Passo 7
Agora que temos o momento de inércia total, podemos calcular o momento angular usando
:
Resposta
A expressão para o módulo do momento angular do sistema é: