A palavra ARAPONGA tem quantos anagramas, de modo que começam por vogal e a letra P ocupe sempre o último lugar?

Passo 1

O enunciado pede o número de anagramas de “ARAPONGA” em que o primeiro caractere seja uma vogal e o último seja sempre “P”. O conteúdo aqui é permutações com repetição de um multiconjunto, e vamos separar em casos conforme a vogal inicial.

Passo 2

Caso 1: a vogal inicial é “O”.
Nesse caso, ocupamos a posição 1 com “O” e a posição 8 com “P”. Restam então 6 posições livres para as letras \{A,A,A,R,N,G\}. Como há 3 “A” repetidas, o número de anagramas é
\frac{6!}{3!} \;=\; 120.

Passo 3

Caso 2: a vogal inicial é “A”.
Aqui usamos uma das 3 “A” na posição 1 e “P” na posição 8. Sobram então 6 posições para as letras \{A,A,O,R,N,G\}, com 2 “A” repetidas. O total é
\frac{6!}{2!} \;=\; 360.

Passo 4

Pelo princípio da adição de casos mutuamente excludentes, o total de anagramas é
120 + 360 = 480.

Resposta

480

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