Palcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha do campo escalar
ao longo da curva
dada por
para
. Em forma objetiva:
- O que precisamos calcular:
. - A curva
está descrita explicitamente por e o intervalo de é . - Informações dadas que vou usar: a equação da curva
e os limites e .
Passo 2
Primeiro vou lembrar qual é a definição prática que vou usar para integrar uma função escalar ao longo de uma curva: se a curva é parametrizada por
,
,
, então
Explicando: aqui
é o elemento de comprimento de arco; ao parametrizar a curva por
a contribuição infinitesimal de comprimento é
. Essa é a fórmula padrão que converte a integral de linha em uma integral em uma variável.
Passo 3
Como a curva já está dada por
em função de
, a parametrização mais simples é usar
como parâmetro. Ou seja:
Então
e
. Uso isso para calcular
:
Comentando: esta é a forma mais direta de obter
quando a curva é dada por
.
Passo 4
Agora escrevo a função a integrar em termos de
. Substituo
e
em
:
Portanto a integral de linha fica
Daqui em diante vou trabalhar nessa integral em uma variável.
Passo 5
A integral que preciso calcular é
Antes de escolher técnica, uma observação didática: a presença de
sugere uma substituição hiperbólica do tipo
(porque
), ou trigonométrica oblíqua
. A substituição hiperbólica é muito conveniente quando aparece
. Vou usar a hiperbólica porque transforma a raiz em
e o diferencial fica simples.
Passo 6
Faço a substituição hiperbólica:
Então
e
Os limites: quando
temos
; quando
temos
(ou seja
), porque
e para
dá
.
Passo 7
Substituo tudo em
. Primeiro escrevo
e
em termos de
:
Agora
Então o integrando
vira
Simplificando constantes (
) e fatores:
Portanto
Passo 8
Agora vou integrar as duas parcelas separadamente. Para a primeira parcela uso a identidade de duplo ângulo hiperbólico:
Então
E usando
com
:
Integrando:
Passo 9
Para a segunda parcela
é conveniente expressar tudo em termos de
. Faço isso passo a passo:
Logo
Chamando
para organizar, expandindo:
Portanto
Para integrar, uso que
porque
e
— porém é mais direto transformar a integral em variável
(ou fazer termo a termo): escrevendo
temos
Agora integro termo a termo usando identidades padrão:
-
-
-
pode ser reescrito por (identidade resultante das fórmulas de soma), então
Juntando tudo e voltando a
(lembre
) obtém-se, após simplificação:
(Detalhes algébricos das combinações foram trabalhados para obter esta expressão; é uma combinação linear de hiperbólicas múltiplas e de
.)
Passo 10
Voltando à integral total
, que era
com
, substituo as primitivas obtidas nos passos anteriores:
Para a primeira integral a primitiva é
.
Para a segunda a primitiva é .
Para a segunda a primitiva é
Multiplicando pelos fatores
e
e somando, obtemos (após juntar termos semelhantes)
No limite inferior
todas as hiperbólicas
e
dão zero, então basta avaliar em
.
Passo 11
Agora uso que
, portanto
e
. Vou calcular
,
e
em termos de
:
-
-
, então
- Finalmente
. Calculando e substituindo:
Agora substituo esses valores na expressão de
:
Faço a soma das três parcelas que têm
. Calculando as frações e somando (fatorando e reduzindo), chega-se ao resultado simplificado
Lembrando
, posso escrever a resposta em forma fechada logarítmica.