Palcule \int_{c}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s, c: y=5 x^{2}, 0 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha do campo escalar \,f(x,y)=x^{2}+y^{2}\, ao longo da curva c dada por y=5x^{2} para 0\le x\le2. Em forma objetiva:
  • O que precisamos calcular: \displaystyle \int_{c}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,ds.
  • A curva c está descrita explicitamente por y=5x^{2} e o intervalo de x é [0,2].
  • Informações dadas que vou usar: a equação da curva y=5x^{2} e os limites x=0 e x=2.

Passo 2

Primeiro vou lembrar qual é a definição prática que vou usar para integrar uma função escalar ao longo de uma curva: se a curva é parametrizada por x=x(t), y=y(t), t\in[a,b], então
\int_{c} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt.
Explicando: aqui ds é o elemento de comprimento de arco; ao parametrizar a curva por t a contribuição infinitesimal de comprimento é \sqrt{(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}}\,dt. Essa é a fórmula padrão que converte a integral de linha em uma integral em uma variável.

Passo 3

Como a curva já está dada por y em função de x, a parametrização mais simples é usar x como parâmetro. Ou seja:
x=t,\qquad y=5t^{2},\qquad t\in[0,2].
Então x'(t)=1 e y'(t)=10t. Uso isso para calcular ds:
ds=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt=\sqrt{1+(10t)^{2}}\,dt=\sqrt{1+100t^{2}}\,dt.
Comentando: esta é a forma mais direta de obter ds quando a curva é dada por y=y(x).

Passo 4

Agora escrevo a função a integrar em termos de t. Substituo x=t e y=5t^{2} em f(x,y)=x^{2}+y^{2}:
f\big(x(t),y(t)\big)=t^{2}+\big(5t^{2}\big)^{2}=t^{2}+25t^{4}.
Portanto a integral de linha fica
\int_{c}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,ds=\int_{0}^{2}\big(t^{2}+25t^{4}\big)\sqrt{1+100t^{2}}\,dt.
Daqui em diante vou trabalhar nessa integral em uma variável.

Passo 5

A integral que preciso calcular é
I=\int_{0}^{2}\big(t^{2}+25t^{4}\big)\sqrt{1+100t^{2}}\,dt.
Antes de escolher técnica, uma observação didática: a presença de \sqrt{1+100t^{2}} sugere uma substituição hiperbólica do tipo t=\tfrac{1}{10}\operatorname{sinh} u (porque \sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}u}=\operatorname{cosh} u), ou trigonométrica oblíqua 10t=\tan\theta. A substituição hiperbólica é muito conveniente quando aparece \sqrt{1+a^{2}t^{2}}. Vou usar a hiperbólica porque transforma a raiz em \operatorname{cosh} e o diferencial fica simples.

Passo 6

Faço a substituição hiperbólica:
t=\frac{1}{10}\operatorname{sinh} u.
Então dt=\frac{1}{10}\operatorname{cosh} u\,du e
\sqrt{1+100t^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}u}=\operatorname{cosh} u.
Os limites: quando t=0 temos u=0; quando t=2 temos u=\operatorname{arsinh}(20) (ou seja u=\ln(20+\sqrt{401})), porque \operatorname{sinh} u=10t e para t=2 \operatorname{sinh} u=20.

Passo 7

Substituo tudo em I. Primeiro escrevo t^{2} e t^{4} em termos de \operatorname{sinh} u:
t^{2}=\frac{1}{100}\operatorname{sinh}^{2}u,\qquad t^{4}=\frac{1}{10000}\operatorname{sinh}^{4}u.
Agora
dt=\frac{1}{10}\operatorname{cosh} u\,du,\qquad \sqrt{1+100t^{2}}=\operatorname{cosh} u.
Então o integrando \big(t^{2}+25t^{4}\big)\sqrt{1+100t^{2}}\,dt vira
\left(\frac{1}{100}\operatorname{sinh}^{2}u+\frac{25}{10000}\operatorname{sinh}^{4}u\right)\operatorname{cosh} u\cdot\frac{1}{10}\operatorname{cosh} u\,du.
Simplificando constantes ( \frac{25}{10000}=\frac{1}{400}) e fatores:
\bigg(\frac{1}{100}\operatorname{sinh}^{2}u+\frac{1}{400}\operatorname{sinh}^{4}u\bigg)\frac{1}{10}\operatorname{cosh}^{2}u\,du = \frac{1}{1000}\operatorname{sinh}^{2}u\operatorname{cosh}^{2}u\,du+\frac{1}{4000}\operatorname{sinh}^{4}u\operatorname{cosh}^{2}u\,du.
Portanto
I=\int_{0}^{\operatorname{arsinh}(20)}\left(\frac{1}{1000}\operatorname{sinh}^{2}u\operatorname{cosh}^{2}u+\frac{1}{4000}\operatorname{sinh}^{4}u\operatorname{cosh}^{2}u\right)du.

Passo 8

Agora vou integrar as duas parcelas separadamente. Para a primeira parcela uso a identidade de duplo ângulo hiperbólico:
\operatorname{sinh}(2u)=2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u \quad\Rightarrow\quad \big(\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u\big)^{2}=\frac{1}{4}\operatorname{sinh}^{2}(2u).
Então
\int \operatorname{sinh}^{2}u\operatorname{cosh}^{2}u\,du=\frac{1}{4}\int\operatorname{sinh}^{2}(2u)\,du.
E usando \operatorname{sinh}^{2}v=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{cosh}(2v)-1\big) com v=2u:
\frac{1}{4}\int\operatorname{sinh}^{2}(2u)\,du=\frac{1}{4}\int\frac{\operatorname{cosh}(4u)-1}{2}\,du=\frac{1}{8}\int\operatorname{cosh}(4u)\,du-\frac{1}{8}\int du.
Integrando:
\int \operatorname{sinh}^{2}u\operatorname{cosh}^{2}u\,du=\frac{1}{32}\operatorname{sinh}(4u)-\frac{1}{8}u + C.

Passo 9

Para a segunda parcela \int \operatorname{sinh}^{4}u\operatorname{cosh}^{2}u\,du é conveniente expressar tudo em termos de \operatorname{cosh}(2u). Faço isso passo a passo:
\operatorname{sinh}^{2}u=\frac{\operatorname{cosh}(2u)-1}{2},\qquad \operatorname{cosh}^{2}u=\frac{\operatorname{cosh}(2u)+1}{2}.
Logo
\operatorname{sinh}^{4}u\operatorname{cosh}^{2}u=\bigg(\frac{\operatorname{cosh}(2u)-1}{2}\bigg)^{2}\bigg(\frac{\operatorname{cosh}(2u)+1}{2}\bigg) =\frac{1}{8}\big(\operatorname{cosh}(2u)-1\big)^{2}\big(\operatorname{cosh}(2u)+1\big).
Chamando z=\operatorname{cosh}(2u) para organizar, expandindo:
\big(z-1\big)^{2}\big(z+1\big)=z^{3}-z^{2}-z+1.
Portanto
\operatorname{sinh}^{4}u\operatorname{cosh}^{2}u=\frac{1}{8}\big(\operatorname{cosh}^{3}(2u)-\operatorname{cosh}^{2}(2u)-\operatorname{cosh}(2u)+1\big).
Para integrar, uso que du=\tfrac{1}{2}dz porque z=\operatorname{cosh}(2u) e dz=2\operatorname{sinh}(2u)\,du — porém é mais direto transformar a integral em variável z=2u (ou fazer termo a termo): escrevendo z=2u temos
\int \operatorname{sinh}^{4}u\operatorname{cosh}^{2}u\,du=\frac{1}{16}\int\big(\operatorname{cosh}^{3}z-\operatorname{cosh}^{2}z-\operatorname{cosh} z+1\big)\,dz.
Agora integro termo a termo usando identidades padrão:
  • \displaystyle \int \operatorname{cosh} z\,dz=\operatorname{sinh} z.
  • \displaystyle \operatorname{cosh}^{2}z=\frac{\operatorname{cosh}(2z)+1}{2}\Rightarrow \int\operatorname{cosh}^{2}z\,dz=\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(2z)+\frac{1}{2}z.
  • \displaystyle \operatorname{cosh}^{3}z pode ser reescrito por \operatorname{cosh}^{3}z=\tfrac{1}{4}\big(\operatorname{cosh} 3z+3\operatorname{cosh} z\big) (identidade resultante das fórmulas de soma), então
\int \operatorname{cosh}^{3}z\,dz=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\operatorname{sinh} 3z+3\operatorname{sinh} z\right)=\frac{1}{12}\operatorname{sinh} 3z+\frac{3}{4}\operatorname{sinh} z.
Juntando tudo e voltando a u (lembre z=2u) obtém-se, após simplificação:
\int \operatorname{sinh}^{4}u\operatorname{cosh}^{2}u\,du =\frac{1}{192}\operatorname{sinh}(6u)-\frac{1}{64}\operatorname{sinh}(2u)-\frac{1}{64}\operatorname{sinh}(4u)+\frac{1}{16}u + C.
(Detalhes algébricos das combinações foram trabalhados para obter esta expressão; é uma combinação linear de hiperbólicas múltiplas e de u.)

Passo 10

Voltando à integral total I, que era
I=\frac{1}{1000}\int_{0}^{T}\operatorname{sinh}^{2}u\operatorname{cosh}^{2}u\,du+\frac{1}{4000}\int_{0}^{T}\operatorname{sinh}^{4}u\operatorname{cosh}^{2}u\,du,
com T=\operatorname{arsinh}(20), substituo as primitivas obtidas nos passos anteriores:
Para a primeira integral a primitiva é \tfrac{1}{32}\operatorname{sinh}(4u)-\tfrac{1}{8}u.
Para a segunda a primitiva é \tfrac{1}{192}\operatorname{sinh}(6u)-\tfrac{1}{64}\operatorname{sinh}(2u)-\tfrac{1}{64}\operatorname{sinh}(4u)+\tfrac{1}{16}u.
Multiplicando pelos fatores \tfrac{1}{1000} e \tfrac{1}{4000} e somando, obtemos (após juntar termos semelhantes)
I=\left[\frac{1}{768000}\operatorname{sinh}(6u)-\frac{1}{256000}\operatorname{sinh}(2u)+\frac{7}{256000}\operatorname{sinh}(4u)-\frac{7}{64000}u\right]_{0}^{T}.
No limite inferior u=0 todas as hiperbólicas \operatorname{sinh} e u dão zero, então basta avaliar em u=T.

Passo 11

Agora uso que T=\operatorname{arsinh}(20), portanto \operatorname{sinh} T=20 e \operatorname{cosh} T=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}T}=\sqrt{401}. Vou calcular \operatorname{sinh}(2T), \operatorname{sinh}(4T) e \operatorname{sinh}(6T) em termos de \sqrt{401}:
  • \operatorname{sinh}(2T)=2\operatorname{sinh} T\operatorname{cosh} T=40\sqrt{401}.
  • \operatorname{cosh}(2T)=2\operatorname{cosh}^{2}T-1=2\cdot401-1=801, então
    \operatorname{sinh}(4T)=2\operatorname{sinh}(2T)\operatorname{cosh}(2T)=2\cdot(40\sqrt{401})\cdot 801=64080\sqrt{401}.
  • Finalmente \operatorname{sinh}(6T)=\operatorname{sinh}(4T)\operatorname{cosh}(2T)+\operatorname{cosh}(4T)\operatorname{sinh}(2T). Calculando \operatorname{cosh}(4T)=2\operatorname{cosh}^{2}(2T)-1=2\cdot801^{2}-1=1\,283\,201 e substituindo: \operatorname{sinh}(6T)=64080\sqrt{401}\cdot801+40\sqrt{401}\cdot1\,283\,201 =102\,656\,120\sqrt{401}.
Agora substituo esses valores na expressão de I:
I=\frac{1}{768000}\cdot102\,656\,120\sqrt{401}-\frac{1}{256000}\cdot40\sqrt{401}+\frac{7}{256000}\cdot64080\sqrt{401}-\frac{7}{64000}T.
Faço a soma das três parcelas que têm \sqrt{401}. Calculando as frações e somando (fatorando e reduzindo), chega-se ao resultado simplificado
\frac{1\,300\,021}{9600}\sqrt{401}-\frac{7}{64000}T.
Lembrando T=\operatorname{arsinh}(20)=\ln\!\big(20+\sqrt{401}\big), posso escrever a resposta em forma fechada logarítmica.

Resposta

\displaystyle \int_{c}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,ds=\frac{1\,300\,021}{9\,600}\sqrt{401}-\frac{7}{64\,000}\ln\!\big(20+\sqrt{401}\big).

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