Um par de engrenagens retas possui módulo \mathrm{m}=4 \mathrm{~mm}. A engrenagem A possui 18 dentes e a engrenagem B, 54 dentes.
a) Determine os diâmetros primitivos de A e B.
b) Calcule a distância entre centros dos eixos das engrenagens.
c) Indique se o conjunto é redutor ou multiplicador de velocidade e justifique.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá os seguintes dados:
  • Dados fornecidos: o módulo é \mathrm{m}=4\\ \mathrm{mm}; a engrenagem A tem z_A=18 dentes; a engrenagem B tem z_B=54 dentes.
  • Perguntas:
    a) Determinar os diâmetros primitivos de A e B.
    b) Calcular a distância entre os centros dos eixos das engrenagens.
    c) Indicar se o conjunto é redutor ou multiplicador de velocidade e justificar.

Passo 2

Entender a fórmula fundamental que vamos usar (aula rápida e prática).
  • O módulo \mathrm{m} é uma medida que relaciona o diâmetro primitivo d com o número de dentes z. A definição é:
\mathrm{m}=\dfrac{d}{z}.
Aqui:
  • \mathrm{m} é o módulo (unidade: \mathrm{mm});
  • d é o diâmetro primitivo (unidade: \mathrm{mm});
  • z é o número de dentes (adimensional).
  • Da definição acima, isolamos d:
d=\mathrm{m}\,z.
Isso significa: multiplica-se o módulo pelo número de dentes para obter o diâmetro primitivo. É uma conta simples e muito usada em projeto de engrenagens.

Passo 3

Calcular o diâmetro primitivo da engrenagem A usando d_A=\mathrm{m}\,z_A.
  • Substituindo os valores:
d_A = 4\cdot 18.
  • Fazendo a multiplicação:
d_A = 72\\ \mathrm{mm}.
Explicação curta: 4 mm por dente vezes 18 dentes resulta num diâmetro primitivo de 72\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular o diâmetro primitivo da engrenagem B usando d_B=\mathrm{m}\,z_B.
  • Substituindo os valores:
d_B = 4\cdot 54.
  • Fazendo a multiplicação:
d_B = 216\\ \mathrm{mm}.
Resumo: B tem diâmetro primitivo 216\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Determinar a distância entre centros (a explicação do porquê da fórmula).
  • Para duas engrenagens que engrenam externamente, a distância entre centros a é a soma dos raios primitivos, ou seja a metade da soma dos diâmetros primitivos:
a=\dfrac{d_A+d_B}{2}.
Justificativa física simples: cada eixo está a uma distância do ponto de contato igual ao seu raio primitivo; somando os dois raios obtém-se a distância entre centros.

Passo 6

Calcular numericamente a distância entre centros usando os diâmetros já obtidos.
  • Substituindo:
a=\dfrac{72+216}{2}.
  • Somando e dividindo:
a=\dfrac{288}{2}=144\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Explicar como decidir se o conjunto é redutor ou multiplicador (conceito e fórmula).
  • A relação entre velocidades angulares (ou rotações por minuto) e o número de dentes vem da igualdade das velocidades periféricas no ponto de contato.
  • Se n_A e n_B são as rotações (em mesma unidade) de A e B, e d_A,d_B os diâmetros, a igualdade da velocidade periférica dá:
\pi d_A n_A = \pi d_B n_B \quad\Rightarrow\quad \dfrac{n_A}{n_B}=\dfrac{d_B}{d_A}.
  • Como d é proporcional a z pelo módulo, também vale:
\dfrac{n_A}{n_B}=\dfrac{z_B}{z_A}.
  • Interpretação prática: se \dfrac{n_A}{n_B}>1, A gira mais rápido que B; então, se A for o motor (acionadora), o conjunto reduz a velocidade no eixo de B (é redutor). Se \dfrac{n_A}{n_B}<1, seria multiplicador.

Passo 8

Aplicar a fórmula de razão com os números dados e concluir redutor/multiplicador.
  • Calcular a razão:
\dfrac{n_A}{n_B}=\dfrac{z_B}{z_A}=\dfrac{54}{18}=3.
  • Isso significa que n_A = 3\,n_B, ou invertendo n_B = \dfrac{n_A}{3}. Se a engrenagem A aciona (é o motor) e B é o conduzido, B girará a um terço da velocidade de A.
  • Conclusão: o conjunto é um redutor de velocidade com razão 3:1 (reduz a velocidade em 3 vezes e aumenta o torque aproximadamente em 3 vezes, desprezando perdas).

Resposta

a) d_A=72\\ \mathrm{mm},\quad d_B=216\\ \mathrm{mm}
b) a=144\\ \mathrm{mm}
c) Redutor de velocidade — razão i=\dfrac{n_A}{n_B}=\dfrac{z_B}{z_A}=3 (se A aciona B, então n_B=\dfrac{n_A}{3}, ou seja velocidade reduzida 3:1).

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