Para as parábolas dadas, encontre vértice, foco e diretriz:
y^{2}-6 y+8 x+25=0

Passo 1

O enunciado dá a parábola
y^{2}-6y+8x+25=0
e pede para encontrar o vértice, o foco e a diretriz. Dados relevantes: a equação explícita da curva (acima) e as três quantidades que precisamos determinar (vértice, foco e diretriz). A partir da forma geral, teremos que reescrever a equação na forma padrão de uma parábola para ler esses elementos.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: completar o quadrado no termo em y. Agrupamos os termos envolvendo y:
y^{2}-6y+8x+25=0.
Para completar o quadrado em y somamos e subtraímos 9 (porque (\tfrac{-6}{2})^{2}=9):
(y^{2}-6y+9)-9+8x+25=0.

Passo 3

O grupo (y^{2}-6y+9) é um quadrado perfeito. Substituímos e simplificamos os constantes:
(y-3)^{2}-9+8x+25=0
(y-3)^{2}+8x+16=0,
pois -9+25=16.

Passo 4

Isolando o quadrado temos
(y-3)^{2}=-8x-16.
Fatorando o lado direito:
(y-3)^{2}=-8(x+2).

Passo 5

Agora colocamos na forma padrão de uma parábola com eixo horizontal:
(y-k)^{2}=4p(x-h).
Comparando com (y-3)^{2}=-8(x+2) vemos que
k=3,\quad h=-2,\quad 4p=-8.
Explicação rápida do significado: (h,k) é o vértice; p é a distância orientada do vértice até o foco (positiva para a direita, negativa para a esquerda quando a parábola tem eixo horizontal). A fórmula do foco é (h+p,k) e a da diretriz é x=h-p (para parábolas horizontais).

Passo 6

Calculamos p:
p=\frac{4p}{4}=\frac{-8}{4}=-2.

Passo 7

Com h=-2, k=3 e p=-2 encontramos o vértice:
\text{vértice}=(h,k)=(-2,\,3).é

Passo 8

O foco é dado por (h+p,k). Portanto
\text{foco}=(h+p,\,k)=(-2-2,\,3)=(-4,\,3).

Passo 9

A diretriz é a reta vertical x=h-p. Calculando:
x=h-p=-2-(-2)=0,
logo a diretriz é x=0.

Resposta

Vértice: (-2,\,3)
Foco: (-4,\,3)
Diretriz: x=0

Exercícios relacionados