Para as parábolas dadas, encontre vértice, foco e diretriz:
Passo 1
O enunciado dá a parábola
e pede para encontrar o vértice, o foco e a diretriz. Dados relevantes: a equação explícita da curva (acima) e as três quantidades que precisamos determinar (vértice, foco e diretriz). A partir da forma geral, teremos que reescrever a equação na forma padrão de uma parábola para ler esses elementos.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: completar o quadrado no termo em
. Agrupamos os termos envolvendo
:
Para completar o quadrado em
somamos e subtraímos
(porque
):
Passo 3
O grupo
é um quadrado perfeito. Substituímos e simplificamos os constantes:
pois
.
Passo 4
Isolando o quadrado temos
Fatorando o lado direito:
Passo 5
Agora colocamos na forma padrão de uma parábola com eixo horizontal:
Comparando com
vemos que
Explicação rápida do significado:
é o vértice;
é a distância orientada do vértice até o foco (positiva para a direita, negativa para a esquerda quando a parábola tem eixo horizontal). A fórmula do foco é
e a da diretriz é
(para parábolas horizontais).
Passo 6
Calculamos
:
Passo 7
Com
,
e
encontramos o vértice:
Passo 8
O foco é dado por
. Portanto
Passo 9
A diretriz é a reta vertical
. Calculando:
logo a diretriz é
.
Resposta
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Foco:
Diretriz: