Para as parábolas dadas, encontre vértice, foco e diretriz:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o vértice, o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
Informações fornecidas: a equação explícita da parábola é
. A tarefa é dar as coordenadas do vértice e do foco e a equação da diretriz.
Passo 2
Vamos lembrar a forma padrão de uma parábola com eixo horizontal (aberta para a direita ou para a esquerda). A forma padrão é
onde:
-
é o vértice da parábola; -
é um número real que indica a distância entre o vértice e o foco (e também a distância do vértice à diretriz); - se
a parábola abre para a direita; se ela abre para a esquerda; - o foco tem coordenadas
; - a diretriz é a reta vertical
.
Explicando de forma bem direta:e deslocam a parábola no plano (são as coordenadas do vértice) e controla a “abertura” e a posição do foco e da diretriz.
Passo 3
Agora comparo a equação dada com a forma padrão. A equação dada é
Escrevendo
como
, vejo que a forma corresponde a
com
Também a constante multiplicando
é
, ou seja
.
Passo 4
Calculo
a partir de
:
Como
, confirma-se que a parábola abre para a direita. Interpretação: o foco está a uma unidade para a direita do vértice e a diretriz está a uma unidade para a esquerda do vértice.
Passo 5
Determino o vértice usando
. Assim o vértice é
Explicando: basta ler os sinais dentro dos parênteses na forma
.
Passo 6
Determino o foco usando a fórmula
. Com
e
obtemos
Portanto o foco é
.
Passo 7
Determino a diretriz usando a fórmula
. Com
e
obtemos
Portanto a diretriz é a reta
.
Passo 8
Verificação rápida (controle de consistência): a distância do vértice
ao foco
é
e a distância do vértice à diretriz
é
. Como essas distâncias coincidem, os resultados são consistentes com a definição geométrica da parábola.
Resposta
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Foco:
Diretriz: