Para as parábolas dadas, encontre vértice, foco e diretriz:
(y-2)^{2}=4(x+1)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vértice, o foco e a diretriz da parábola dada pela equação
(y-2)^{2}=4(x+1).
Informações fornecidas: a equação explícita da parábola é (y-2)^{2}=4(x+1). A tarefa é dar as coordenadas do vértice e do foco e a equação da diretriz.

Passo 2

Vamos lembrar a forma padrão de uma parábola com eixo horizontal (aberta para a direita ou para a esquerda). A forma padrão é
(y-k)^{2}=4p(x-h),
onde:
  • (h,k) é o vértice da parábola;
  • p é um número real que indica a distância entre o vértice e o foco (e também a distância do vértice à diretriz);
  • se p>0 a parábola abre para a direita; se p<0 ela abre para a esquerda;
  • o foco tem coordenadas (h+p,k);
  • a diretriz é a reta vertical x=h-p.
    Explicando de forma bem direta: h e k deslocam a parábola no plano (são as coordenadas do vértice) e p controla a “abertura” e a posição do foco e da diretriz.

Passo 3

Agora comparo a equação dada com a forma padrão. A equação dada é
(y-2)^{2}=4(x+1).
Escrevendo x+1 como x-(-1), vejo que a forma corresponde a (y-k)^{2}=4p(x-h) com
h=-1,\qquad k=2.
Também a constante multiplicando (x-h) é 4, ou seja 4p=4.

Passo 4

Calculo p a partir de 4p=4:
p=1.
Como p=1>0, confirma-se que a parábola abre para a direita. Interpretação: o foco está a uma unidade para a direita do vértice e a diretriz está a uma unidade para a esquerda do vértice.

Passo 5

Determino o vértice usando (h,k). Assim o vértice é
(h,k)=(-1,2).
Explicando: basta ler os sinais dentro dos parênteses na forma (y-k)^{2}=4p(x-h).

Passo 6

Determino o foco usando a fórmula (h+p,k). Com h=-1 e p=1 obtemos
(h+p,k)=(-1+1,\,2)=(0,2).
Portanto o foco é (0,2).

Passo 7

Determino a diretriz usando a fórmula x=h-p. Com h=-1 e p=1 obtemos
x=-1-1=-2.
Portanto a diretriz é a reta x=-2.

Passo 8

Verificação rápida (controle de consistência): a distância do vértice (-1,2) ao foco (0,2) é |0-(-1)|=1 e a distância do vértice à diretriz x=-2 é |-1-(-2)|=1. Como essas distâncias coincidem, os resultados são consistentes com a definição geométrica da parábola.

Resposta

Vértice: (-1,2)
Foco: (0,2)
Diretriz: x=-2

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